3.3圆周角 导学案 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

第11课时 3.3圆周角 一、温故知新 （1）平面内 确定一个圆. （2）如图用尺规作图作三角形的外心？ （3）反证法的证明过程：（1） ；（2） ；（3） . （4）什么是圆心角？怎么确定弧的度数？ 二、预习检测 （1） 在圆上，并且它的两边 是 ，这样的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：圆周角等于 . （3）推论1：圆周角的度数等于 . （4）推论2： 上的圆周角相等； ，相等的圆周 角 相等. （5）推论3： 圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 . （6） 叫圆内接多边形.这个圆叫 . （7）推论4：圆内接四边形对角 . 牛刀小试1、如图，的直径，则的度数为 . 牛刀小试1图 牛刀小试2图 牛刀小试2、如图，弦AB,CD交于点P，图中有哪些相等的角？ 牛刀小试3、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ） A.36° B.56° C.72° D.144° 三、学习目标 （1）掌握圆周角的定义，掌握圆内接多边形的定义. （2）能运用定理和推论求圆周角的大小 （3）掌握圆周角的相关推论，并能进行简单的推理和计算. 四、知识精讲 知识点一、圆周角的概念 定义：顶点在圆上，并且它的两边在圆内部分是圆的两条弦，这样的角叫圆周角. 思考：下列图中哪些图的是圆周角. 知识点二、圆周角定理及推论1 画一画：在圆中任画一个圆周角，则圆心与圆周角有几种位置关系？ 探究：和的大小关系为？ 总结：圆周角定理：圆周角等于它所对弧上圆心角的一半. 推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 归纳：要求圆周角的大小，可以求它所对圆心角或弧的度数. 练一练1、如图，在中，，，垂足为点D，求的度数. 练一练2、已知内接于，AB=AC，且的度数为130°，求的度数. 知识点三、圆周角定理推论2、推论3 推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 思考：（1）能否直接说，相等的圆周角所对的弧相等？ （2）在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角是否相等？ 推论3：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 练一练1、如图，已知AB是半圆O的直径，是的中点，那么的度数是（ ） A.25° B.29° C.30° D.32° 练一练1图 练一练2图 练一练2、如图，AB是的直径，C,D是上的两点，，则的度数为 . 知识点四、圆的内接多边形 定义：所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形.这个圆叫这个多边形的外接圆. 推论4：圆内接四边形对角互补. 思考：圆内接四边形外角和内角之间有什么关系？ 练一练、在圆内接四边形ABCD中，，则 . 五、典例精练 题型一、圆周角定理及推论1 例1、如图，在中，，点C在上，求的度数. 变式1、在半径为3cm的中，若弦cm，则弦AB所对的圆周角的度数 为 . 变式2、如图，弦AB把圆周分成1：5的两部分，那么劣弧所对的圆周角的度数为 . 题型二、推论2、推论3 例2、如图，内接于，A为劣弧的中点，，过点B作的直径BD，连接AD，若AD=6,求AC的长. 例3、如图，AD是的高，AE是的外接圆直径，点O为圆心.则 相似吗？说明理由. 变式1、如图，AB是的直径，弦于点H，，，则的半径是 . 变式1图 变式2图 变式2、如图，AC是的弦，AC=5，点B是上的一个动点，且.若点M,N分别是AC,BC的中点，则MN的最大值是 . 变式3、如图，AB是的直径，弦于P，已知CD=8cm，，求的半径. 变式4、如图，BD是的直径，A,C是上的两点，且AB=AC,AD与BC的延长线交于点E. （1）求证：.（2）若AD=1,DE=3，求BD的长. 题型三、圆内接四边形 例4、如图，四边形ABCD内接于，已知，求的度数. 例5、如图，内接于，D,F分别是上的点，.连接AF并延长交CB的延长线于点E，连接AD,CD.求证：. 变式1、如图，点A,B,C,D,E在上，且为50°，则 . 变式2、如图，AB是的直径，D,E是上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE. （1）求证： （2）若，求证：. 变式3、如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E. （1）求证：为等腰三角形. （2）求证：. 六、课堂小结 七、课后练习 1．如图，其中圆周角有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠ACB的度数是（   ） A．35° B．55° C．65° D．70° 3．如图，点均在圆上，则图中有________个圆周角． 4．如图，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠ABD=58°，则 的度数为__________°． 5．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为 ． 6．判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 7．如图，A，B，C，D是上的四个点，，交于点E，，求的长． 8．如图，在中，，求和的度数． 9．如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 10．如图，在中，，求的度数． 11．已知：如图，是直径，是的平分线，，． （1）求证：； （2）求，，的长． 12．已知：如图，是⊙O的直径，弦于E，，求长． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，． （1）求的度数； （2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长． 14．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？ 15．已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由． 16．已知：如图，在中，，以为直径的与交于点D，与交于点E． 求证：为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$