精品解析：河北省石家庄晋州市职业技术教育中心2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2023年----2024年学年度第二学期 《数学》3月月考考试试卷 考试说明：闭卷考试，本考题共三大题，共37小题，总分120分，考试时间为120分钟 一、单项选择题（共15题，每题3分，共45分） 1. 已知点，则线段的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 10 2. 已知点是点和点连线的中点，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线过点且与轴平行，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线的关系是 A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 6. 若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（ ） A. B. 1 C. 0或 D. 1或 7. 若，则必过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、四象限 8. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 9. 已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若点到直线的距离等于2，则实数为（ ） A. B. C. D. 或 11. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 点在圆的圆心上 12. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 13. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 设直线过点且与圆相切，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 15. 若直线被圆所截得的弦长为，则的值为（ ） A. 或 B. 1或3 C. 或6 D. 0或4 二、填空题（共15题，每空2分，共30分） 16. 已知直线过点A，B，C，则实数的值为_____________. 17. 直线的横截距是________，斜率是___________. 18. 经过点且与直线垂直的直线的方程是________． 19. 两平行直线与之间的距离为______________. 20. 若点是线段AB的中点，点A的坐标为，则点B的坐标为______； 21. 经过原点和点的直线，其直线方程是_______________. 22. 将方程化为直线的一般式方程为___________，该直线在y轴上的截距为__________. 23. 点到直线的距离是____________. 24. 圆的周长是___________. 25. 与圆C：是同心圆，且面积等于圆C的面积的一半的圆的方程为______________. 26. 已知圆上一点P到直线的距离为d，则d的最大值为____________. 27. 圆在点处的切线方程为_____________. 28. 自点发出的一条光线射到轴上一点，然后被轴反射，则反射光线所在直线与圆的位置关系为______________. 29. 平行于直线且与圆相切的直线方程____________. 30. 若直线与圆相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为___________________. 三、解答题（共7题，共45分） 31. 已知的三个顶点的坐标是，，. （1）判断的形状； （2）求的面积. 32. 已知直线：与垂直，且经过点. （1）求的一般式方程； （2）若与圆：相交于两点，求. 33. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 34. 求经过两个点，且圆心在直线上的圆的方程. 35. （1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 36. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西处，受影响的范围是半径长为的圆形区域（如图）.已知港口位于台风中心正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风影响？ 37. 设点M，直线，圆. （1）求过点M，且与圆相切的直线方程; （2）若直线与圆相切，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年----2024年学年度第二学期 《数学》3月月考考试试卷 考试说明：闭卷考试，本考题共三大题，共37小题，总分120分，考试时间为120分钟 一、单项选择题（共15题，每题3分，共45分） 1. 已知点，则线段的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】因为点， 所以线段. 故选：C. 2. 已知点是点和点连线的中点，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式列式即可得解. 【详解】因为点是点和点连线的中点， 所以，解得， 所以的值分别为. 故选：B. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角之间的关系即可解得. 【详解】由题直线，可化为， 则直线斜率为，设直线倾斜角为， 则，，解得， 故选：A. 4. 若直线过点且与轴平行，则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行于轴的直线的方程形式为，结合所过点的坐标即可得解. 【详解】因为直线与轴平行，所以其斜率不存在， 又直线过点，所以该直线的方程为，即. 故选：B. 5. 已知直线与直线的关系是 A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 【答案】D 【解析】 【分析】观察已知直线解析式，进行变形，分析，即可求出结果. 【详解】将直线，左右两边同时乘得到：， 与直线相同，因此两直线重合. 故选：. 6. 若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（ ） A. B. 1 C. 0或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值即可. 【详解】∵ ∴ 即 解得或， 故选：D. 7. 若，则必过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程分情况讨论即可解得. 【详解】由题，，则或， 若，则直线斜率小于，在轴的截距小于，直线经过二、三、四象限； 若，则直线斜率大于，在轴的截距大于，直线经过一、二、三象限， 故直线必过二、三象限， 故选：B 8. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程中列式求解即可. 【详解】若方程表示一个圆， 可得，解得. 则的取值范围是. 故选：A. 9. 已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，线段的中点即为圆心，两点间距离的一半即为圆的半径，由此可得圆的标准方程. 【详解】因为线段的中点坐标为，即， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为， 半径， 所以， 因此所求的圆的标准方程为：， 故选：. 10. 若点到直线的距离等于2，则实数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程即可求得. 【详解】因为点到直线的距离等于2， 所以，解得或. 故选：D. 11. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 点在圆的圆心上 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解圆的圆心坐标和半径，然后比较点到圆心的距离和半径的大小即可判断. 【详解】根据题意知：圆心坐标为：，即， 圆的半径为：， 点P到圆心的距离为：， 因为，所以点P在圆外. 故选：A. 12. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，且圆心在直线上， 故选：A. 13. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，列出不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线与圆有公共点， 所以，解得． 故选：C. 14. 设直线过点且与圆相切，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的斜率将直线方程表示出来，根据切线的性质列出方程即可得解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， 点与圆心的距离为，，所以点在圆外， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 故选：. 15. 若直线被圆所截得的弦长为，则的值为（ ） A. 或 B. 1或3 C. 或6 D. 0或4 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心的标准方程得出圆心坐标和半径，再由圆的弦长公式列方程即可求出的值. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 因为直线被圆所截得的弦长为， 即，化简整理得， 解得或. 故选：D. 二、填空题（共15题，每空2分，共30分） 16. 已知直线过点A，B，C，则实数的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线过点A，B，求出直线方程，再利用点C在直线上，求出的值. 【详解】由题意可知，直线过点A，B，两点式：， 解得， 当，，解得， 实数的值为. 故答案为：. 17. 直线的横截距是________，斜率是___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】将直线的一般方程化为斜截式方程即可得横截距和斜率. 【详解】直线化为斜截式为， 所以斜率为，令，可得横截距为. 故答案为：；. 18. 经过点且与直线垂直的直线的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直先设出直线方程，再由经过的点即可求解直线方程. 【详解】因为与直线垂直，所以设直线方程为， 因为经过点，所以有，解得， 所以直线方程为. 故答案为：. 19. 两平行直线与之间的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线的距离公式可求解. 【详解】因为直线可化为， 所以两平行直线与之间的距离为. 故答案为： 20. 若点是线段AB的中点，点A的坐标为，则点B的坐标为______； 【答案】 【解析】 【分析】利用线段的中点坐标公式即可得解. 【详解】依题意，设， 因为点是线段AB的中点，点A的坐标为， 所以，解得，即. 故答案为：. 21. 经过原点和点的直线，其直线方程是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两点坐标计算直线斜率，再写出直线的点斜式方程. 【详解】因为直线经过原点和点，所以直线的斜率为， 即直线的点斜式方程为，即， 故答案为： 22. 将方程化为直线的一般式方程为___________，该直线在y轴上的截距为__________. 【答案】 ①. ②. 2.5## 【解析】 【分析】将原方程化为直线的一般式方程，进而求解直线在轴上的截距. 【详解】由，得到直线的一般式方程. 令，解得.故该直线在轴的截距为. 故答案为： ；. 23. 点到直线的距离是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可求解. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 24. 圆的周长是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆的半径，再根据圆的周长公式求解即可. 【详解】将圆的一般方程：， 化为标准方程为：， 所以圆的半径为， 因此圆的周长， 故答案为：. 25. 与圆C：是同心圆，且面积等于圆C的面积的一半的圆的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求圆的标准方程，利用圆的面积公式，结合题中条件得到即可求解. 【详解】设所求圆的标准方程为， 因为所求圆与圆C：是同心圆，所以，. 又所求圆的面积等于圆C的面积的一半， 由圆的面积公式，可知，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 26. 已知圆上一点P到直线的距离为d，则d的最大值为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离求解点到直线距离的最大值. 【详解】因为圆圆心为，半径为1， 圆上一点到直线的距离最大值应为圆心到直线的距离加上半径长， 可得圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：4. 27. 圆在点处的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】然后利用圆心与切点的连线垂直于切线得到切线斜率，再根据点斜式求切线方程即可. 【详解】，可化为， 所以圆心为，又因为切点为， 则圆心与切点连线的斜率为， 设切线斜率为，则，即， 则切线方程为，即. 故答案为：. 28. 自点发出的一条光线射到轴上一点，然后被轴反射，则反射光线所在直线与圆的位置关系为______________. 【答案】相切 【解析】 【分析】先做出点A关于轴的对称点,然后写出直线的方程，即反射线所在直线的方程.然后求解圆的圆心坐标和直径，比较圆心到反射线的距离和圆半径的大小即可判断圆和直线的位置关系. 【详解】作点关于轴的对称点,则坐标为, 所以直线即为反射线所在的直线，其方程为:,即, 圆的圆心坐标为：,即, 圆的半径, 圆心到直线的距离, 因为, 所以反射光线所在的直线与圆的位置关系为：相切. 故答案为：相切. 29. 平行于直线且与圆相切的直线方程____________. 【答案】或 【解析】 【分析】由两直线平行可设所求直线为，再由直线与圆相切根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】因为所求直线与直线平行， 可设所求直线方程为， 由圆可得，圆心坐标为，半径， 因为所求直线与圆相切， 则圆心到直线的距离与圆的半径相等， 即，则，解得或. 故所求直线方程为或. 故答案为：或. 30. 若直线与圆相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合圆的几何性质确定线段的垂直平分线即为过和垂直的直线，求得其斜率，可得其点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【详解】由题意知圆的圆心为， 则线段的垂直平分线即为过和垂直的直线， 则其斜率为，则其方程为，即， 故答案为：. 三、解答题（共7题，共45分） 31. 已知的三个顶点的坐标是，，. （1）判断的形状； （2）求的面积. 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）26 【解析】 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【小问1详解】 因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. 【小问2详解】 由（1）得. 32. 已知直线：与垂直，且经过点. （1）求的一般式方程； （2）若与圆：相交于两点，求. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. （2）根据点到直线的距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 因为直线：的斜率为， 因为直线直线，所以直线的斜率为， 因为经过点，所以直线的方程为即. 【小问2详解】 由圆：可知，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线：的距离， 所以， 所以. 33. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】或 【解析】 【分析】分别令，等于0，代入直线方程可得两截距，由题意可得的方程，解值可得答案． 【详解】易知，否则，在轴上截距不存在. 当时，；当时，. 直线在两坐标轴上的截距相等. ，解得或. 故所求的直线方程为或. 34. 求经过两个点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，将坐标代入圆的方程与直线方程，即可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 因为圆经过两个点，且圆心在直线上， 则， ，解得：，，， 则圆的方程为. 35. （1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式可得； （2）根据平行直线间的距离公式可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离. （2）由平行直线间的距离公式可得， 直线与的距离. 36. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西处，受影响的范围是半径长为的圆形区域（如图）.已知港口位于台风中心正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风影响？ 【答案】轮船不改变航线，不会受台风影响. 【解析】 【分析】以台风中心为坐标原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系；接下来推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，以及航船航线所在直线的方程，求出圆心到直线的距离，进而解答本题. 【详解】我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为，即， 如果圆O与直线有公共点，则轮船受影响，需要改变航向； 如果O与直线无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向. 由于圆心到直线的距离， 所以直线与圆O无公共点.这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向. 37. 设点M，直线，圆. （1）求过点M，且与圆相切的直线方程; （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）圆方程化为标准方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M，且与圆相切的直线方程； （2）由直线与圆相切知，由此求出. 【小问1详解】 由题意得，圆的方程可化为，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线方程为，化简得， 圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为，即， 综上所述，过点M，且与圆相切的直线方程为或. 【小问2详解】 由（1）可知圆心到直线的距离为， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $