精品解析：山东省枣庄市滕州市中等职业教育中心学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1. 若数列的通项公式为，则110是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2. 已知数列，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 3. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在等比数列中，已知，，则该数列的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 5. 和的等差中项是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 零向量与任意一个向量都平行 B. 零向量的方向是任意的 C. 零向量没有方向 D. 零向量的模为零 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形ABCD中，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10. 点在线段上，且， 则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，已知D是边上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 在四边形中，有，且，则这个四边形是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 13. 在三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 2 14. 已知各项都是正数的等比数列，为其前项和，且，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 或 15. 如图所示，在平行四边形中，点，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 16. 已知等差数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 17. 等比数列的各项都是正数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 18. 三个数成等比数列是的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 19. 在等比数列中，，，则前6项的和是（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 210 20. 某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为（ ） A. 12 B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 简化______． 22. 在等差数列中，若，则______. 23. 已知向量，若，则实数______. 24. 在等比数列中，若，则数列前8项的乘积是______. 25. 在等差数列中，前项的和为，前项的和为，则前的项的和为______. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分） 26. 在等比数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列的前10项和. 27. 在等差数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）求该数列的前项和的最大值，以及取得最大值时的值. 28. 已知向量，，向量、的夹角为． （1）求的值； （2）求﹒ 29. 《九章算术》有一道题：若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 30. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1. 若数列的通项公式为，则110是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解方程可求解. 【详解】令，可得或（舍去）， 即110是这个数列的第项. 故选：C 2. 已知数列，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知递推公式即可解得. 【详解】由题，， 则， ， ， 故选：A 3. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 等差数列中，，， 由通项公式可得 ， 两式相减，可得，解得 . 故选：A． 4. 在等比数列中，已知，，则该数列的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解公比. 【详解】在等比数列中，已知，， 所以，解得， 所以该数列的公比为2. 故选：A. 5. 和的等差中项是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入等差中项公式即可得解. 【详解】和的等差中项是， 故选：. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 零向量与任意一个向量都平行 B. 零向量的方向是任意的 C. 零向量没有方向 D. 零向量的模为零 【答案】C 【解析】 【分析】根据零向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，零向量与任意一个向量都平行，正确； 选项，零向量的方向是任意的，正确； 选项，零向量的方向不确定，不是没有方向，故错误； 选项，零向量的模为零，正确. 故选：. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 8. 在平行四边形ABCD中，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法法则，和减法法则表示出向量即可. 【详解】如图，根据向量的加法法则可知， 根据减法法则可知， 所以， 故选：B. 9. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的夹角为，则由题意求得，再利用两个向量的数量积的定义求得的值，可得的值. 【详解】已知， 设与的夹角为，则， 求得， 故选:B. 10. 点在线段上，且， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意用和表示，再结合已知条件即可求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 11. 在中，已知D是边上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则结合数乘运算即可求解. 【详解】如图所示，已知， 则， 又有， 所以， 所以， 故选：A. 12. 在四边形中，有，且，则这个四边形是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等和向量模之间的关系即可判断. 【详解】由题，四边形中，， 则，又知， 则四边形为等腰梯形. 故选：A 13. 在三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出三角形为等边三角形，再向量的内积公式求解即可. 【详解】∵， ∴三角形为等边三角形， ∴. 故选：C. 14. 已知各项都是正数的等比数列，为其前项和，且，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质及应用，可知，代入即可求解. 【详解】因为是等比数列，且，， 所以， 即， 解得或. 因为等比数列都是正数， 所以. 所以， 所以， 解得. 故选：A. 15. 如图所示，在平行四边形中，点，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则即可求解. 【详解】由题意可知，, 因为是平行四边形， 则， 故选：A 16. 已知等差数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得解. 【详解】由等差数列的性质可知，， 所以，故， 所以. 故选：C. 17. 等比数列的各项都是正数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，结合题意即可求解. 【详解】因为等比数列的各项都是正数， 所以根据等比数列的性质得到. 故选：B. 18. 三个数成等比数列是的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可. 【详解】若三个数成等比数列， 根据等比数列的性质可得：； 若，满足， 但显然不成等比数列， 则三个数成等比数列是的充分不必要条件. 故选：. 19. 在等比数列中，，，则前6项的和是（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，由，，求出，再求出，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，， 设等比数列的公比为q， 所以，即， 所以， 所以. 故选：D. 20. 某工厂今年1月份产量为，若月平均增长率为，则今年12月份产值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式即可求得. 【详解】由题意知，月份产量构成以为首项，为公比的等比数列， 则通项公式为，所以12月份产值为. 故选：C. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 21. 简化______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加减法法则运算即可. 【详解】， 故答案为： 22. 在等差数列中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可知，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知为等差数列，且， 则， 所以， 故答案为：. 23. 已知向量，若，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量，，又， 所以， 即. 故答案为：. 24. 在等比数列中，若，则数列前8项的乘积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，， 所以. 故答案为：. 25. 在等差数列中，前项的和为，前项的和为，则前的项的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质即可得解. 【详解】由等差数列的性质， 可得成等差数列， 则， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分） 26. 在等比数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求出公比和首项，进而求出数列的通项公式； （2）由等比数列的前n项和公式求出前10项和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为和首项为， 由等比数列的定义可知， 由， 因此，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由等比数列的前n项和公式，得 ， 所以该数列的前10项和为. 27. 在等差数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）求该数列的前项和的最大值，以及取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式，列出关于和的方程组，据此可得通项公式； （2）求出的表达式，由二次函数的性质可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由于其对称轴为 当时，， 当时，， 所以当时，数列的前项和取最大值，最大值为. 28. 已知向量，，向量、的夹角为． （1）求的值； （2）求﹒ 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据向量内积公式先求出内积，进而求解； （2）现将原式进行变形，进而求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 . 29. 《九章算术》有一道题：若齐国与长安相距里，良马从长安出发去齐国，驽马从齐国出发去长安.良马第一天行里，之后每天比前一天多行里；驽马第一天行里，之后每天比前一天少行2里.则驽马与良马第几日相遇？ 【答案】驽马与良马第日相遇. 【解析】 【分析】由题意知良马、驽马每日路程数构成等差数列，设良马和驽马第n日相遇，则利用等差数列的前n项和公式解出n值即可. 【详解】由题意可得，良马、驽马每日路程数构成等差数列 设良马、驽马每日路程数构成的等差数列分别为， 由题意，良马：， 则n日走的路程和为； 驽马：， 则n日走的路程和为. 两匹马走的总路程为， 则， 即，解得（舍去）， 故驽马与良马第日相遇. 30. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据求通项公式. （2）根据等差数列的定义证明. 【小问1详解】 ∵ ∴ 故 【小问2详解】 ∵ ∴当时 ， 故的值为常数， 则数列是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $