6.2.3向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 2 【情境探究】 1.(1)类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a. (2)3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢? 提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反. 必备知识生成 3 (3)按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系. 提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若|a|=λ,则|3a|=3λ. (4)实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量a,b,上式是否仍成立? 提示:成立,向量同样满足分配律、结合律. 4 2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况? 提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量. (2)若b=2a,b与a共线吗?λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系? 提示:a与b共线,λa与a的方向相同或相反. (3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa? 提示:一定存在,且是唯一的. 5 　　几何意义：将a的长度扩大（或缩小）|λ|倍， 改变（不改变）a的方向，就得到了λa． 特别地，当λ=0或a=0时，λa =0． 　　（2）方向当λ>0时，λa的方向与 a方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a方向相反； （1）长度 |λa|=|λ|·|a| 　　定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作λa． 它的长度和方向规定如下： 回顾旧知 　　问题1 向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量a与a(a ≠0，是实数)之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数， 　　（1）如果b=a (a ≠0)，向量a与b是否共线？ 　　（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？ 一、创设情境，探讨共线向量定理 7 当a与b同方向时，有b=μa； 当a与b反方向时，有b=-μa， 所以，始终有一个实数λ，使b=λa． 　　对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线． 　　若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|，且 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa． 一、创设情境，探讨共线向量定理 Λ，μ不加粗 8 二、例题引领，综合运用知识 　　追问1：如图，若P为AB的中点，则 与 ， 的关系如何？ O A B P 9 　　例1 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作 =a+b， =a+2b， =a+3b．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想． O A B C a b b b b a 二、例题引领，综合运用知识 10 二、例题引领，综合运用知识 　　分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量 ， 是否共线，即是否存在λ，使 　　 成立． 　　证明：分别作向量 ， ， ，过点A，C作直线AC．观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线． 　　事实上，因为 　　 　　所以 　　因此，A，B，C三点共线． 　　若将向量a，b， a+λ2b的起点 移到一起的话，向量a+λ2b的终点在过向量a的终点且与向量所在的直线平行的直线l上． 　　追问2：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量（其中∈R）终点轨迹有什么规律吗？ λ1a+b （∈R）？ l 几何意义： 二、例题引领，综合运用知识 a+λ2b a b 　　追问3：已知不共线向量a，b，你能解释λ1a+λ2b(∈R)的几何意义吗？ 　　若将向量a，b，λ1a+λ2b的起点移到一起的话，向量的终点在向量与向量所确定的平面上． a b 几何意义： 二、例题引领，综合运用知识 二、例题引领，综合运用知识 　　例2 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta， 共线，求实数t的值． 14 二、例题引领，综合运用知识 　　解：由a，b不共线，易知向量 为非零向量．由向量b－ta， 共线，可知存在实数λ，使得b－ta=λ( )，即 由a，b不共线，必有 ．否则不妨设 ，则 　　　　　　　 由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾． 　　 由 解得 15 关键能力探究 三：向量的线性运算 【典例1】(1)计算: ①4(a+b)-3(a-b)-8a; ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); ③ (2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a). 【思维导引】运用向量数乘的运算律求解,可类比实数运算中的合并同类项方法化简. 16 【解析】(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b. ②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. ③原式= 17 (2)原式= a-b-a+ b+2b-a = a+ b 18 【类题通法】 向量线性运算的技巧 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 19 【定向训练】 计算:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2) [2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b). 20 【解析】(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式= (4a+16b-16a+8b)= (-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb. 21 【补偿训练】 若已知向量a,b满足 (3a-2c)+4 +(a+6b)=0,则c=________.  【解析】 (3a-2c)+4 +(a+6b) =a- c+c-4b+a+6b=2a+2b+ c=0, 所以 c=-2a-2b,c=-6a-6b. 答案:-6a-6b 22 四、向量共线定理             B O A C     四、向量共线定理 三点共线的判定定理的证明   所以OC-OA= (OB-OA)，即AC= AB，所以AC与AB共线.又因为AC与AB 有共同的起点，所以A、B、C三点共线.     三点共线 三点共线的判定定理 对于平面内任意三点A、B、C，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，设OC= OA+ OB，若实数 ， 满足 ，则A、B、C三点共线.             【定向训练】 1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点, 则 = (　　) 26 【解析】选A.如图所示 27 2.如图,设△ABC的重心为G,O是△ABC所在平面内的一点,且 =a, =b, =c,则 =________.  28 【解析】易知, 所以 又因为 所以 故 答案: 29 核心知识 核心素养 方法总结 1. 向量数乘 的定义. 2.向量数乘的运算律. 3.共线向量定 理. 易错提醒 向量的数乘运算 1.向量的数乘运算可类似于代数多项式运算. 2.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表 示即可. 数学抽象： 向量数乘概念 逻辑推理： 向量共线的充要条件及其应用 数学运算： 向量的线性运算 向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数 30 $$