概率课时十五讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时十五 知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概率公式求概率 典例1、2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）； （3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率. 随堂练习：某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400. （1）求出直方图中a，b，c的值； （2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）若从得分在区间内的学生中抽取2人编号为A，B，从得分在区间内的学生中抽取6人编号为1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，求事件“1，2帮助A”的概率. 典例2、某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情况下，一把紫砂壶的成品率为，损毁率为．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为．已知一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元． （1）求一把紫砂壶能够对外销售的概率； （2）某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最终获利X的数学期望． 随堂练习：2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为. （1）①求、的值； ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率. （2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望. 典例3、某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； （3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 随堂练习：某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分； （2）从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率； （2）已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率. 知识点二 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点 典例4、随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图： 2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年） （1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱； （2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数） 参考数据：，.参考公式：相关系数. 线性回归方程的斜率，截距. 附： 相关性 弱 一般 强 随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，，，，. （1）用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） （2）求出与的回归直线方程； （3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出. 附：①相关系数； ②在回归直线方程，，. 典例5、2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图． （1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）； （2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求； （3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数） 附：若，则，． 随堂练习：某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在内的概率； （3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本． 参考数据：，则，． 2025高考--概率（一轮复习）课时十五答案 典例1、答案： （1）70.5 （2）71.67 （3）0.6 解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： （2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3， 所以中位数为 （3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人， 故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人， 两组各有一人被抽取的概率为. 随堂练习：答案： （1）、、 （2）中位数约为，平均数为；（3） 解：（1）依题意， 又且，解得，； （2）因为，设中位数为，则， 所以，解得，即中位数约为； 平均数为 （3）从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B， 所以可能结果为（只列出帮助的学生），，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，共个基本事件， 其中满足1，2帮助的有，，，共个， 故满足“1，2帮助”的概率 典例2、答案：（1） （2）. 解：（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件A，则， 则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为， 则一把紫砂壶能够对外销售的概率， （2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550， -500-50-100-50=-700， 则，， ，， 则X的分布列为： 950 800 -550 -700 所以最终获利X的数学期望为： 随堂练习：答案： （1）①；② （2）分布列见解析，数学期望为元 解：（1）①由题意得 即 解得： ②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱. ∴. （2）的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600 ， ， ， ， ， ， ∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为 0 300 500 800 1100 1300 1600 张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为： （元） 典例3、答案： （1）0.01； （2）中位数是，平均数是； （3）. 解：（1）由频率分布直方图得：. （2）由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62， 因此，该校语文成绩的中位数，则，解得， 语文成绩的平均数为， 所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是. （3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人， 因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人， 记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F， 从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能， 选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：， 所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是. 随堂练习：答案： （1），平均分为（分） （2） （3） 解：（1）依题意得，解得， 这名学生的数学平均分为（分）. （2）由（1）可知，成绩在和中的学生人数比为， 所以用分层抽样方法抽取成绩在和中的学生人数分别为人和人， 设成绩在中的三人为、、，成绩在中的二人为、， 从这人中任取三人的所有可能情况为：、、、、、、 、、、，共种， 而有两名成绩在中的有、、、、、，共种，故所求概率为. （3）由题可知，乙也参加座谈属于条件概率， 设（2）中人分别为：甲、乙、、、， 甲被抽出的情况为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲，共6种， 在甲参加的条件下乙也参加的情况有：甲乙、甲乙、甲乙，共种， 故甲已经被抽出座谈，乙也参与座谈的概率为. 典例4、答案： （1），与具有很强的线性相关关系 （2），预测2023年该公司的研发人数约为613人 解：（1）由条形统计图，得， ， 所以 ， 所以. （2）因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关. ， 所以， 所以. 由题意知，2023年对应的年份代码， 当时，， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人. 随堂练习：答案： （1），线性相关程度较高 （2） （3）万元. 解：（1）由题意得，， 则， 故， 故， ∵， ∴与高度相关，即与的相关性很强． （2）根据题意，得， ， ∴关于的回归直线方程为． （3）由题知，2024年对应的年份代码， 所以，当时，， 所以，预测2024年该家庭的教育支出为（万元）． 典例5、答案：（1）；（2）；（3）． 解:（1）抽取树木高度为的频率为， 所以样本均值：． （2）由第一问估计， ， 一棵树的高度位于区间的概率为0.1359， 依题意知，所以． （3）记移植五棵树中成活了棵．． 随堂练习：答案： （1）；（2）；；（3）元． 解：（1）由 解得． （2）依题意， 故 所以 故测量数据落在内的概率约为 （3）根据题意得 故生产该疫苗的平均成本为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$