精品解析：2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 期中模拟试题

2024－2025学年第一学期期中模拟数学试题 （120分钟，150分） 一、选择题：本题共12个小题，每个小题4分．本题共48分）． 1. 在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100， ∴BC=100×3÷5=60， ∴AB==80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 2. 如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为（ ） A. （2，-1） B. （1，-2） C. （1，） D. （，-1） 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数． 3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 4. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意； C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意； D、y=x2+ 中不整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量． 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 7. 若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点(，)在　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，可以推出a＜0，c＞0，从而知道＜0，然后即可点（a，）的位置． 【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧， ∴a＜0，c＞0， ∴＜0， ∴点（a，）第三象限． 故选C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 8. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 9. 爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ） A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 10. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 11. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义得出，进而可得答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴按键顺序为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键． 12. 在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数图象的位置，逐项判断系数的符号即可得出正确选项． 【详解】A、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握函数图象的位置与系数间的关系是解题的关键． 二、填空题，把正确答案填在横线上（本题6个小题，每题4分，共24分） 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：点在上， ∴， ， 解得：(舍去) 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键． 14. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，从而求出点坐标，画图，最后利用割补法即可求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ． 反比例函数为：． 反比例函数的图象经过点， ， ． 如图所示，过点作于，过点作的延长线于，设与轴的交点为， ，， ，，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了反比例函数，涉及到待定系数求解析式，反比例函数与三角形面积问题，解题的关键需要画出图形以及利用割补法求出面积． 15. 把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________． 【答案】m>3 【解析】 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解． 【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4， 此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4）， 函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3）， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ∴m-3>0， 解得：m>3， 故答案为：m>3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 16. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为______米．（结果保留两位小数．参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是掌握锐角三角函数定义及特殊三角函数值，根据在中，，得，计算得米，再根据在中，，即可求得的值，然后根据，计算即可得出答案． 【详解】解：在中，米，，， ， (米)， 在中，，， ， ， （米）， 故答案为：． 17. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 18. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索，与桥面的夹角分别为和，两固定点D，C之间的距离约为，主塔________米．（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，利用正切定义可求得，，由列方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意，在中，，， 由得， 在中，， 由得， ∵， ∴， 解得，即米． 故答案为：78． 三、解答题（共78分）： 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质运算再合并即可； （）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质运算再合并即可； 本题考查了实数混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 20. 如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m 【解析】 【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长． 【详解】解：在中，∵背水坡BC的坡度， ∴， ∴． 在中，∵背水坡AC的坡度， ∴， ∴， ∴． 答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度． 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①见解析；②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 22. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 24. 如图，若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且抛物线的对称轴为直线 ． （1）求二次函数的解析式； （2）若为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，的周长有最大值，此时． 【解析】 【分析】（）分别求出、的坐标，再由对称轴公式得到，用待定系数法求函数的解析式即可； （）根据题意可得，再由直角三角形的三角形函数值可得 ，，则周长 为设 ，则 ，整理得到 周长： ，再利用二次函数的性质求解即可； 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键. 【小问1详解】 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 将点、代入 中， ∴，解得：， ∴ ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵轴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴周长， 设，则， ∴， ∴周长 ， ∴当时，的周长有最大值， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期期中模拟数学试题 （120分钟，150分） 一、选择题：本题共12个小题，每个小题4分．本题共48分）． 1. 在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 2. 如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为（ ） A. （2，-1） B. （1，-2） C. （1，） D. （，-1） 3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+ 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点(，)在　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 9. 爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ） A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J 10. 已知是抛物线（a是常数，上点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题，把正确答案填在横线上（本题6个小题，每题4分，共24分） 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 14. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为_________． 15. 把二次函数y=x2+4x+m图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________． 16. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为______米．（结果保留两位小数．参考数据：，） 17. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 18. 胜利黄河大桥犹如一架巨大竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索，与桥面的夹角分别为和，两固定点D，C之间的距离约为，主塔________米．（结果保留整数．参考数据：，） 三、解答题（共78分）： 19. 计算 （1） （2） 20. 如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 22. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 24. 如图，若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且抛物线的对称轴为直线 ． （1）求二次函数的解析式； （2）若为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$