精品解析：山东省济南应用技术职业中等专业学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题

济南应用技术职业中等专业学校 《数学》试卷（A卷） （ 2023 至 2024 学年第一学期）考试日期 2024年1月13 日 考试时间 120分钟 济南应用技术职业中等专业学校 2024年1月 一、选择题（本大题20个小题，每题3分，共60分） 1. 已知为实数，且.则“是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（　） A. B. C. D. 4. 过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 6. 椭圆焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知点，点，向量，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知函数是增函数，，则p是q的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知复数满足，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 11. 抛物线的焦点为F，已知点，则线段的中点坐标是（　） A. B. C. D. 12. 在中，已知，，，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或3 C. 或 D. 1或3 13. 在长方体中，，，则对角线与底面所成的角是（ ） A. B. C. D. 14. 给出下列命题： ①过平面外一点可以作无数条直线与已知平面平行； ②若一条直线与已知平面平行，则此直线平行于该平面内无数条直线； ③若一条直线与已知平面内的无数条直线不相交，则此直线与该平面平行； ④若一条直线与已知平面内的任意直线不相交，则此直线与该平面平行； ⑤若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行． 其中正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 15. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，那么点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. AB与平面BCD所成的角为 D. AB与CD是异面直线 17. 把复数z的共轭复数记作，若，则（　　） A. B. C. D. 3 18. 如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ） A. B. C. D. 19. 设，分别为双曲线 的左，右焦点，点在双曲线上，且，则的值为（ ） A. 30 B. C. D. 32 20. 正四面体的六条棱一共可以构成（ ）对异面直线. A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 二、填空题（本大题5个小题，每题4分，共20分） 21. “两个向量相等”是“两个向量共线”的_____条件. 22. 若复数满足，则复数的虚部为_________ 23. 若向量且点P的坐标为，则点Q的坐标为______________． 24. 在正方体中，异面直线和所成角的余弦值为_________ 25. 已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则______ 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. （1）计算 （2）在复数集中解方程： 27. 如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： （1）平面PCD； （2）平面PBC. 28. 已知向量，且， （1）求坐标； （2）求. 29. 如图四棱锥中，底面四边形是菱形， ，是正三角形， （1）求证： （2）若，，求直线与平面所成角 30. 已知椭圆的离心率为，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求： （1）椭圆的标准方程 （2）弦的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南应用技术职业中等专业学校 《数学》试卷（A卷） （ 2023 至 2024 学年第一学期）考试日期 2024年1月13 日 考试时间 120分钟 济南应用技术职业中等专业学校 2024年1月 一、选择题（本大题20个小题，每题3分，共60分） 1. 已知为实数，且.则“是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合特殊值法即可判断. 【详解】当时，有，， 但，故充分性不成立； 另一方面，当，且时， 可得，即， 所以“是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加减法运算法则即可求出. 【详解】由题意得，， . 故选：B. 3. 已知向量，则（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：C. 4. 过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和性质，求出焦点，再将点代入即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点坐标在x轴上，且， 所以焦点坐标为， 设过点且与有相同焦点的椭圆的方程为， 则，所以，代入得， 解得（舍去），所以， 故椭圆方程为：. 故选：A. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的性质、公理及其推论逐项判断即可. 【详解】对于A，若三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于B，若两条直线异面，则不能确定一个平面，故B错误； 对于C，一条直线和一个点，若该点在这个直线上，则不能确定一个平面，故C错误； 对于D，因为梯形必有一组对边平行，而两平行线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故D正确. 故选：D. 6. 椭圆焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，即， 所以， 又椭圆焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍， 所以，即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 7. 已知点，点，向量，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的充分必要条件，结合向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因，向量， 所以，即， 解得：. 故选：. 8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系的判定定理及性质定理即可判断. 【详解】因为是两条不同的直线，是一个平面， 若，则或直线n 与平面相交，但不一定成立，故A错误； 若，则异面、相交或，故B错误； 若，则异面或，故C错误； 若，则一定成立，故D正确； 故选：D. 9. 已知函数是增函数，，则p是q的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若函数是增函数，可推出，即，所以结论不一定成立，故充分性不成立； 若，则，故函数是增函数，所以必要性成立； 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B. 10. 已知复数满足，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，进而得到，从而求得的实部. 【详解】因为， 所以，则的实部是. 故选：C. 11. 抛物线的焦点为F，已知点，则线段的中点坐标是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程先求出焦点坐标，根据中点坐标公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以抛物线的焦点坐标为, 又点， 所以线段的中点坐标为，即. 故选：A. 12. 在中，已知，，，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或3 C. 或 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由题意得， 因为， 所以，即， 解得或. 故选：D. 13. 在长方体中，，，则对角线与底面所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的几何特征找出线面角，再根据锐角三角函数中正切的定义求线面角的正切值，然后求出线面角的大小即可. 【详解】如图所示，为长方体， 所以底面， 所以为对角线与底面所成的角. 为直角三角形， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 14. 给出下列命题： ①过平面外一点可以作无数条直线与已知平面平行； ②若一条直线与已知平面平行，则此直线平行于该平面内无数条直线； ③若一条直线与已知平面内的无数条直线不相交，则此直线与该平面平行； ④若一条直线与已知平面内的任意直线不相交，则此直线与该平面平行； ⑤若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行． 其中正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用立体几何的直线与平面的平行的性质逐个判断命题正误. 【详解】①过该点存在一个与已知平面平行的平面，在平面上过该点可以作无数条直线与已知平面平行. 故①结论正确. ②若一条直线平行于已知平面，则一定平行于平面内的某条直线，而直线在平面内有无数条直线与之平行，由直线间平行的性质，该条直线平行于该平面内无数条直线.②结论正确. ③若一条直线与已知平面内无数条直线不相交，这直线与面可能相交，也可能平行，也可能直线在面内.③结论错误. ④若一直线与平面内任意直线不相交，所以直线平行于该平面.④结论正确. ⑤若两条直线与同一个平面所成角相等，它们可能平行，也可能相交，也可能异面.⑤结论错误. 故正确命题的序号是①②④. 故选：D. 15. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，那么点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的离心率即可. 【详解】由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，， 则， 所以离心率， 故选：. 16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. AB与平面BCD所成的角为 D. AB与CD是异面直线 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设条件画出示意图，根据异面直线的垂直判定、直线与平面的线面角逐个判断选项. 【详解】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角， 如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC， 因为为正方形，则，， 所以为直二面角的平面角，故， 对于A，因为，平面 AOC， 平面 AOC，又平面 AOC，，A 中结论正确. 对于B，因为，所以，所以 是等边三角形， B 中结论正确. 对于C，因为，，且平面BCD， 平面BCD，是AB与平面BCD所成的角的平面角，为 ，C中结论错误. 对于D，由图可知，AB与CD是异面直线，D中结论正确. 故选： C. 17. 把复数z的共轭复数记作，若，则（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算及共轭复数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 18. 如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位数定理与平行线的传递性判断A，利用平行线的传递性判断B，利用面面平行的性质判断C，利用异面直线的判定方法判断D，从而得解. 【详解】对于A，如图，因为分别是正方体所在棱的中点， 易得，， 所以，且， 所以为梯形，故与EF相交，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点，故C错误； 对于D，因为平面，平面，平面， 所以与异面，故D错误. 故选：A. 19. 设，分别为双曲线 的左，右焦点，点在双曲线上，且，则的值为（ ） A. 30 B. C. D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标，由可知，利用勾股定理及双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线可知焦点在轴上，且，， 所以，即，所以，， 因为，所以，则， 由双曲线的定义可知， 即，所以， 故选：. 20. 正四面体的六条棱一共可以构成（ ）对异面直线. A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，由正四面体的特征即可求出. 【详解】如图，正四面体的六条棱所在直线中，成异面直线的有和，和，和， 正四面体的六条棱一共可以构成对异面直线. 故选：B. 二、填空题（本大题5个小题，每题4分，共20分） 21. “两个向量相等”是“两个向量共线”的_____条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据共线向量和相等向量的定义及充要条件的概念可判断. 【详解】若两个向量相等，则两个向量共线，即两个向量相等两个向量共线； 若两个向量共线，则两个向量不一定相等，例如：两个向量共线且模不相等，则两个向量不相等，即两个向量共线两个向量相等. 所以“两个向量相等”是“两个向量共线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 22. 若复数满足，则复数的虚部为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法求出复数即可求得的虚部. 【详解】因为复数满足，所以， 所以复数的虚部为1. 故答案为：1. 23. 若向量且点P的坐标为，则点Q的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算进行计算即可得解. 【详解】设Q的坐标为，已知点P的坐标为，则， 故有，解得；，解得， 所以点Q的坐标为. 故答案为：. 24. 在正方体中，异面直线和所成角的余弦值为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意画出图像，找出异面直线所形成的角，利用正方体的性质即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意连接，，，， 因为，所以即为异面直线和所成角， 根据正方体的性质可知为等边三角形，所以， 因为， 所以异面直线和所成角的余弦值为， 故答案为：. 25. 已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则______ 【答案】21 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义即可求解. 【详解】因为点A是椭圆与双曲线的一个交点， 由椭圆与双曲线的方程可得，，故二者的焦点相同，都是点， 且椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 不妨设点A是椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，解得, 故. 故答案为：21. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. （1）计算 （2）在复数集中解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算法则求解即可； （2）根据实系数一元二次方程的求解方法，计算即可. 【详解】（1） . （2）因为， 所以， . 27. 如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： （1）平面PCD； （2）平面PBC. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理依次证得平面PAD，，从而结合三线合一即可得证； （2）构造平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 ，E为PD的中点，， 又平面ABCD，平面ABCD，， 又，平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAD，， 又， 又，平面PCD，平面PCD， 平面PCD. 【小问2详解】 取PC的中点F，连接EF、FB在中，E、F分别为PD、PC中点， 且， 又且， 且， 四边形为平行四边形，， 又平面PBC，平面PBC， 平面PBC. 28. 已知向量，且， （1）求坐标； （2）求. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由向量平行和向量垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）先求出向量的坐标，再由坐标求模长即可. 【小问1详解】 设向量， 因为， 所以，， 因为，， 可得，即，解得， 故. 【小问2详解】 由（）得，， 所以， 所以. 29. 如图四棱锥中，底面四边形是菱形， ，是正三角形， （1）求证： （2）若，，求直线与平面所成角 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，根据线面垂直的判定可证明平面，据此可得证； （2）由已知可得，从而可证明平面，为所求，在等腰直角三角形中可求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，，， 因为是正三角形，所以. 因为底面四边形是菱形， ， 所以为正三角形，. 又因为，在平面内， 所以平面. 因为平面，所以； 【小问2详解】 因为，是正三角形，且， 所以. 又因为，所以，所以. 又因为，，在平面， 所以平面. 所以直线在平面内的射影为，即为所求. 在等腰直角三角形中，. 即直线与平面所成角为. 30. 已知椭圆的离心率为，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求： （1）椭圆的标准方程 （2）弦的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据椭圆离心率，并结合椭圆方程已知量求出未知参数. 根据直线过顶点，并结合倾斜角求出斜率，进而求出直线方程，再与椭圆标准方程联立，之后利用弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意椭圆标准方程：，且椭圆有左焦点，故椭圆焦点在轴上， 故，，又离心率为， 所以， 所以，所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）， 该椭圆的左焦点为，因为直线倾斜角为，所以该直线的斜率为， 所以该直线为：，将直线代入椭圆方程， 化简整理得，则，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $