2024学年九年级中考数学函数复习专题

初中函数复习 一、基本概念 1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 ⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。 ⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。 ①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数； ②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。 二、初中所学的函数 1、正比例函数： （1）、正比例函数的定义：形如的形式。自变量与函数之间是倍的关系 一般情况下，当作自变量，作为函数 （2）、正比例函数的性质 ①正比例函数y=kx的图象是经过（0，0），（1，k）的一条直线。 ②当时，图象从左到右是上升的趋势，也即是随的增大而增大。过一、三象限。 ③当时，图象从左到右是下降的趋势，也即是随的增大而减小。过二、四象限。 ( y x o ) ( y x o ) k>0 k<0 注意：因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。 2、一次函数 （1）、一次函数的定义：形如的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。 （2）、一次函数与正比例函数的关系 属于 正比例 一次函数 不属于 ( b<0 b>0 b=0 y x o )（3）、一次函数的图象性质 ( b=0 b<0 b>0 y x o ) ①一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）(—k/b，0)的一条直线，也可由y=kx平移得到 ② 当k>0时，y随x的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限 ③当k<0时，y随x的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限 注意：一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。 3、反比例函数 （1）、反比例函数的定义：形如y=（为常数，）的形式；x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0． （2）、反比例函数的性质 ①反比例函数y=的图像是双曲线（两个分支） ② 当k>0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小 ③当k<0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y随x的增大而增大 k>0 k<0 ④对 称 性：反比例函数y=的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x或直线y= —x，也是中心对称图形，对称中心是原点 ⑤在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2 =|k|。设R是双曲线上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则 注意：因为反比例函数y= (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值 4、二次函数 （1）、二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。 （2）、二次函数的解析式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；对称轴为，顶点坐标为． ②顶点式：（）；对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k） ③零点式（两根式）：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。 （3）、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线. （4）、二次函数的图像的性质： ①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； ②顶点坐标：； ③对称轴方程：； ④当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值；当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. （5）、二次函数图象的平移 ①保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ②平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！ (6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系 ①二次项系数；二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． ② 一次项系数； 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． ③ 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ④二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： （1）. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． （7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 ①. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； ②. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； ③. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； ④. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． ⑤. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． （8）、二次函数与一元二次方程： ①. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： (1). 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. （中考常考，重点记忆） (2). 当时，图象与轴只有一个交点； (3). 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ②. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； ③. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 练习一 1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是______________， x的取值范围是__________； 2、函数y=的自变量x的取值范围是________； 3、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量1千克时，弹簧 就伸长0.5厘米。①写出挂重后弹簧的长y（厘米）与挂重x（千克）之间的函数关系式；②求自变量的取值范围。 4、如图，在边长为4的正方形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上顺次截取AP＝BQ＝CR ＝DH，得到正方形PQRH，求正方形PQRH的面积S和AP的长度x之间的函数关系式 和自变量x的取值范围。 5、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝22，CD＝10，AD＝16。①在斜腰BC上任取一点P， 过P点作底边的垂线，与上下底分别交于E、F。设PE长为x，PF长为y。求y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；②如果SΔPCD＝SΔPAB ，P点应取在什么地方？ ( A B C D E F P ) 6、 已知y与3x成正比例，当x=8时，y=－12，求y与x的函数解析式。 7、已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 8、一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式 9、已知直线y=kx+b经过点（，0）且与坐标轴所围成的三角形的面积是，求该直线的解析式 10、设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y, ⑴写出y用x表示函数关系式．确定自变量x的取值范围． ⑵求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？ 11、已知直线y=3x与y=－x＋4，求：⑴这两条直线的交点．⑵这两条直线与y轴围成的三角形面积． 12、已知直线y1= 2x－6与y2= －ax+6在x轴上交于A，直线y = x与y1 、y2分别交于C、B。（1）求a；（2）求三条直线所围成的ΔABC的面积。 13、已知直线x－2y=－k+6和x+3y=4k+1的交点在第四象限内。 （1） 求k的取值范围 （2）若k为非负整数，△PAO是以OA为底的等腰三角形，点A的坐标为（2，0）点P在直线x－2y=－k+6上，求点P的坐标及OP的长。 ( y ( 元 ) x （吨） 4 6 4.8 8 )14、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示。 ⑴观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； ⑵说出自来水公司在这两个月用水范围内的收费标准； ⑶若一用户5月份交水费12.8元，求他用了多少吨水？ 15、某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产前，甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始。甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品。 （1） 分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙投产以来所用时间x(天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同？ （2）在直角坐标系中，作出上述两个图象；观察图象，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量最高？ 16、一列快车从甲城驶往乙城，一列慢车从乙城驶往甲城．已知每隔1小时有一列速度相同的快车从甲城开往乙城，如图所示，OA是第一列快车离开甲城的路程y(单位在：千米)与运行时间x(单位：小时)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的慢车距甲城的路程y(单位：千米)与运行时间x(单位：小时)的函数图象．根据图象进行以下探究： 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为_______________千米； (2)点B的横坐标0.5的意义是慢车发车时间比第一列快车发车时间______________小时。 图象理解 (3)若慢车的速度为100千米/小时，求直线BC的解析式，并写出自变量x的取值范围； 问题解决 (4)请你在原图中直接画出第二列快车离开甲城的路程y(单位：千米)与时间x(单位：小时)的函数图象； (5)求第二列快车出发后多长时间与慢车相遇； (6)求这列慢在行驶途中与迎面而来的相邻两列快车相遇的间隔时间． 练习二 1．函数是反比例函数，则m的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 2．如图4所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）�两点，�则2x1y2－7x2y1的值等于______． 图4 图5 图6 3．如图5所示，在反比例函数y=（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，�图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=_______． 4．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，�若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______． 5．函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）在同一坐标系中的图像可能是（ ） 6．如图8所示，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标是（ ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 图8 图9 图10 7．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一质量m的某种气体，�当改变容积V时，气体的密度p也随之改变．p与V在一定范围内满足p=，它的图象如上右图所示，�则该气体的质量m为（ ） A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg 8．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=1，AB=，BC=2，P是BC边上的一个动点（点P与点B不重合，可以与点C重合），DE⊥AP于点E，设AP=x，DE=y．�在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ） 9.反比例函数y = 与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（ ）. 10.如图5-10，A、B是反比例函数y = 的图象上关于原点对称任意两点，过A、B作y轴的平行线，分别交x轴于点C、D，设四边形ACBD的面积为S，则（ ）； A. S = 1 B. 1 < S < 2 C. S = 2 D. S > 2 11.已知：点P (n，2n）是第一象限的点，下面四个命题： ①点P关于y轴对称的点P1的坐标是 (n，-2n)；②点P到原点O的距离是n； ③直线y = -nx +2n不经过第三象限⑻④函数y = , 当n < 0时，y随x的增大而减小. 其中真命题是 （填上所有真命题的序号） 12.反比例函数y = 的图象上有一点P (m，n)，已知m +n = 3，且P到原点的距离为，则该反比例函数的表达式是 . 13函数与（）的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 14．如图所示，直线y=k1x+b与双曲线y=只有一个交点（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线，双曲线的解析式． 15．已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b）， （a+1，b+k）两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）如图4，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由. 练习三 一．填空 1．二次函数=2（x - ）2 +1图象的对称轴是 。 2．函数y=的自变量的取值范围是 。 3．若一次函数y=（m-3）x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是 。 4．已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。 5．若y与x2成反比例，位于第四象限的一点P（a，b）在这个函数图象上，且a,b是方程x2-x -12=0的两根，则这个函数的关系式 。 6．已知点P（1，a）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，其中a=m2+2m+3（m为实数），则这个函数图象在第 象限。 7． x,y满足等式x=，把y写成x的函数 ，其中自变量x的取值范围是 。 8．二次函数y=ax2+bx+c+（a0）的图象如图，则点P（2a-3，b+2） 在坐标系中位于第 象限 9．二次函数y=（x-1）2+（x-3）2，当x= 时，达到最小值 。 10．抛物线y=x2-（2m-1）x- 6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。 二．选择题 11．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ） （A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6） （D）（-2，0）（-4，0） 12．抛物线y= -（x+1）2+3的顶点坐标（ ） （A）（1，3） （B）（1，-3） （C）（-1，-3） （D）（-1，3） 13．如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（ ） 14．函数y=的自变量x的取值范围是（ ） （A）x2 （B）x<2 （C）x> - 2且x1 （D）x2且x–1 15．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ） （A）=3（x+3）2 -2 （B）=3（x+2）2+2 （C）=3（x-3）2 -2 （D）=3（x-3）2+2 16．已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（ ） （A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实根 17．函数y= - x的图象与图象y=x+1的交点在（ ） （A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 18．如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象，如图， 则代数式b+c-a与0的关系（ ） （A）b+c-a=0 （B）b+c-a>0 （C）b+c-a<0 （D）不能确定 19．已知：二直线y= -x +6和y=x - 2，它们与y轴所围成的三角形的面积为（ ） （A）6 （B）10 （C）20 （D）12 20．某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t，纵轴表示离学校的路程s，则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是（ ） 三．解答题 21．已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是-； （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。 22、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°求： (1)直线AB的解析式； (2)抛物线的解析式。 23、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件： (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元， (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 24、已知：二次函数和的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。 25、如图，已知⊿ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（—1，0)，求 (1)B，C，D三点的坐标； (2)抛物线经过B，C，D三点，求它的解析式； (3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。 26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超100度 时，按每度0．57元计费：每月用电超过100度时．其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0．50元计费。 (1)设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y关于x的函数 关系式； (2)小王家第一季度交纳电费情况如下： 月 份 一月份 二月份 三月份 合 计 交费金额 76元 63元 45元6角 184元6角 问小王家第一季度共用电多少度? 27、巳知：抛物线 (1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式； (3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点： ①当⊿AＢＰ是直角三角形时，求b的值； ②当⊿ABＰ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程) 28、已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B(点Ｂ在点A的右边)，与y轴的交点为C； (1)若⊿ABC为Rt⊿，求m的值； (1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值； (3)设⊿ABC的面积为S，求当m为何值时，s有最小值．并求这个最小值。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$