精品解析：陕西省咸阳市三原县2023-2024学年九年级数学上学期期中试题

2023—2024学年度第一学期期中学科质量监测 九年级数学试题（卷） 考生须知 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间90分钟． 2．领到试卷和答题卡后，在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案请在答题卡上各题的指定区城内作答，否则作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项正确涂满，其它各题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 5．考试结束时，将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F．若，，，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到黑球的频率稳定在左右，则可判断袋子中黑球的个数为（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 4. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 若，则的值为（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 3或1 8. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 9. 据统计，2023年一月份某市实现地区生产总值约25亿元，若使该市第一季度实现地区生产总值96亿元，设该市第二、三月份生产总值平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 12. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 13. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是______． 14. 元旦期间，数学兴趣研究小组的同学互送新年贺卡，共送出132张贺卡，则数学兴趣小组共有______名同学． 15. 若矩形的长和宽是关于x的方程的两个根，则矩形的面积为______． 16. 如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 17. 已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 18. 菱形中，，点为对角线上一点，点是边上一点，连接，，若的最小值是，则菱形的边长为______． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程． （1） （2）． （3） （4） 20. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     21. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的小球上的数字恰好相同的概率． 22. 如图，在矩形中，点是上一点，点F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 中国苹果之乡，淳化苹果以色泽绚丽，质脆肉细，汁多味浓，深受大家的喜爱．果商小王以每斤元的价格购进了一批淳化苹果，以每斤元的价格进行销售，平均每天可以销售斤．经调查发现，如果苹果每斤的售价每降价元，那么平均每天的销售量会增加斤，为了尽快减少库存，小王决定降价销售． （1）若将苹果每斤降价元，则每天的销售量是______斤（用含的代数式表示）； （2）如果小王销售的苹果要每天保证盈利元，每斤苹果应降价多少元？ 24. 如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，请直接写出菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第一学期期中学科质量监测 九年级数学试题（卷） 考生须知 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间90分钟． 2．领到试卷和答题卡后，在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案请在答题卡上各题的指定区城内作答，否则作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项正确涂满，其它各题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 5．考试结束时，将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，是等式，不是方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F．若，，，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到黑球的频率稳定在左右，则可判断袋子中黑球的个数为（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解分式方程，设袋子中黑球的个数为，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设袋子中黑球的个数为，依题意，任意摸出个，摸到黑球的概率为： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黑球的个数为个， 故选：A． 4. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 5. 根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，由题意可得且，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：． 7. 若，则的值为（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 3或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 9. 据统计，2023年一月份某市实现地区生产总值约25亿元，若使该市第一季度实现地区生产总值96亿元，设该市第二、三月份生产总值平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市第二、三月份生产总值平均增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该市第二、三月份生产总值平均增长率为x，依题意得： ， 故选：B． 10. 如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明，即可判断①②，根据，， 得到，进而得到，可判断③，在中，可判断④． 【详解】解：过作于点，如图， ∵点是正方形的对角线上一点，，， ， 在中， 同理得： ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即，故①不符合题意，②符合题意； 延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故③符合题意， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， 在中， 故④符合题意， 综上，符合题意的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 13. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，设与相交于点，由，可得四边形为平行四边形，即得，再由菱形的性质可得，进而由即可求解，掌握平行四边形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 元旦期间，数学兴趣研究小组的同学互送新年贺卡，共送出132张贺卡，则数学兴趣小组共有______名同学． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设数学兴趣小组共有名同学，则每名同学需送出张新年贺卡，根据数学兴趣小组的同学共送出132张新年贺卡，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设数学兴趣小组共有名同学，则每名同学需送出张新年贺卡，依题意得： 整理得： 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 15. 若矩形的长和宽是关于x的方程的两个根，则矩形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得出长和宽的积即可得出矩形的面积，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的长和宽是关于的方程的两个根， ∴矩形的长宽 ∴矩形的面积为 故答案为：． 16. 如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可以假设，则，，利用平行四边形和角平分线的性质可得，即得，，进而得，再利用即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 18. 菱形中，，点为对角线上一点，点是边上一点，连接，，若的最小值是，则菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角函数，连接，根据菱形的对称性可得，即得，当时，可知最短，此时点三点共线，，再利用三角函数求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，根据菱形的对称性可得， ∴， 当时，可知最短，此时点三点共线，如图， ∵的最小值是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程． （1） （2）． （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接用开平方法求解即可； （2）直接用配方法求解即可； （3）直接用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问4详解】 解： 方程整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 20. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     【答案】 如图，点E，F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接、，即可． 【详解】理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 21. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，不放回，再从袋中随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的小球上的数字恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格计算即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中数字恰好相同的结果有种， ∴摸出的小球上的数字恰好相同的概率为． 22. 如图，在矩形中，点是上一点，点F是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质和余角性质可得，，据此即可求证； （）由勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 23. 中国苹果之乡，淳化苹果以色泽绚丽，质脆肉细，汁多味浓，深受大家的喜爱．果商小王以每斤元的价格购进了一批淳化苹果，以每斤元的价格进行销售，平均每天可以销售斤．经调查发现，如果苹果每斤的售价每降价元，那么平均每天的销售量会增加斤，为了尽快减少库存，小王决定降价销售． （1）若将苹果每斤降价元，则每天的销售量是______斤（用含的代数式表示）； （2）如果小王销售的苹果要每天保证盈利元，每斤苹果应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：若将苹果每斤降价元，则每天的销售量是斤， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：要每天保证盈利元，每斤苹果应降价元． 24. 如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，请直接写出菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长． 【答案】（1）菱形的周长为； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形为正方形； （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再由勾股定理求出，即可求解； （2）为正方形，四边形为菱形，那么而易证从而有等量代换可得易证四边形为正方形； （3）过作垂足为，连接，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，通过证明可得答案． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， 设 即， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，作等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $