福建省厦门市2024-2025学年 九年级上学期期中数学复习（一元二次方程章节重难点近三年组题汇编）

福建省厦门市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（一元二次方程章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1 2．（22-23九年级上·福建厦门·期中）若是关于的一元二次方程，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如果是方程的一个根，则常数的值为（   ） A． B． C．8 D．6 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某超市一月份的营业额为10万元，三月份的营业额为45万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（    ）． A．1轮后有个人患了流感 B．2轮后有个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1331人感染 7．（22-23九年级上·福建厦门·期中）设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．29 B． C．31 D． 8．（23-24九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程，已知，，，则这个方程根的情况是（    ） A．有两个正的实数根 B．没有实数根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 9．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，边上的中线长为（   ） A．1 B． C．2 D． 10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）对于一元二次方程，正确的结论是（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．（22-23九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的一个根是，则 ． 12．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若是方程的一个解，则方程的另一个解是 ． 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是 ． 14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于的一元二次方程的两实数根、， 满足，则的值是 15．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已如、是方程的两根，则 ． 16．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是__________． 17．（22-23八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明，如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ．    18．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （填序号）． 三、解答题 19．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当为最大正整数时，求方程的根． 20．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)若方程的两个实数根为且，求的值． 21．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求实数m的值． 22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若、是该方程两个根，且满足，求m的值． 23．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若分别是一个矩形的长和宽． ①是否存在k，使得矩形的面积为10，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在k，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24九年级上·福建厦门·期中）去年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米．    (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 25．（23-24九年级上·福建厦门·期中）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在年春节长假期间接待游客20万人次，预计在年春节长假期间将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的平均增长率； (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，则平均每天可多销售杯，年春节期间，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠 26．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 27．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 28．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“差1方程”？ (2)已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“差1方程”，令，求t的最大值 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A C B D D D C 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解题的关键在于对知识的熟练掌握．求出一元二次方程的一般式，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 2．B 【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 3．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把代入方程可得到关于的方程，可求得的值，把方程的解代入得到到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每月的增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由一至三月份的总营业额为45万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 依题意，得： 故选：C． 6．B 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 第2轮又增加个人患流感， 2轮后共有个人患流感，故B错误，符合题意； 依题意，得，即， 故C正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了10人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 7．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根 ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 8．D 【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况，根据判定根的绝对值大小关系． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵， ∴两根异号， ∵， ∴负根的绝对值大， 综上，一元二次方程有一正根一负根且负根绝对值大， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查根的判别式，勾股定理逆定理，中线定义．根据题意求出，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，利用中线定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴边上的中线长为：， 故选：D． 10．C 【分析】利用得到，则，于是可对①进行判断；利用根的判别式可对②进行判断；根据一元二次方程的解的定义可对③进行判断． 【详解】解：①， 一元二次方程有一解为， ，故①不正确，不合题意； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③是一元二次方程的根， ， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 综上分析可知，正确的是②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键． 11．2 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握概念准确计算是本题的解题关键． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．若一元二次方程的两根为，，则，．设方程的另一根为，根据根与系数的关系列方程并求解，即得答案． 【详解】设方程的另一根为x1， 根据题意得， 所以, 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程无实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据题意得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根、， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去） ∴， 故答案为：． 15． 【分析】根据根与系数的关系得出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程()的根与系数的关系：若方程两根为，则，，掌握这两个公式是解题的关键． 16． 【分析】求出方程的两个实数根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键． 17．6 【分析】利用正方形的面积和全等三角形的性质，得到，，并可设 ，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，从而即可得出的值． 【详解】解：∵小正方形的面积是4，大正方形的面积是100， ∴小正方形的边长为2，大正方形的边长为10， ∴，． ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴可设，则． 在中，， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形面积公式，解一元二次方程，正方形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 18．①③ 【分析】利用判别式判断①，求出时的两个根，判断②，利用根与系数的关系，判断③，求出的值以及完全平方数的定义，判断④． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，， ∴， ∴当时，的两个根，，且，则：，故②错误； 若两个根为，，则：， ∴；， ∴；故③正确； ∵ ， 当时， ， 当为奇数时，不是整数， ∴的值不一定是完全平方数，故④错误； 故答案为①③. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据（1）的结论，求出最大正整数的值，代入方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴最大正整数的值为2， ∴方程化为：， 即， ∴． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系． 20．(1) (2)0.5 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，，把系数代入可求m的范围； （2）利用根与系数的关系，已知结合，再将变为，然后代入计算即可． 【详解】（1）∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）由根与系数的关系可知，，， 由，得， 即， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由得，再代入即可解答； 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，解得：， 将值代入得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．(1) (2) 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识． （1）根据，构建不等式求解； （2）利用根与系数关系构建方程求解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：、是方程两个根， ，， ， ， 整理得：， 或， ， 不符合题意，舍去， ． 23．(1) (2)①不存在；②存在， 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形的性质，勾股定理． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）①根据矩形的面积公式和根与系数的关系得到，解得，然后利用k的范围可判断即可； ②根据根与系数的关系得，再利用矩形的性质和勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； （2）①不存在． 理由如下： ∵矩形的面积为10， ∴， 解得， 而， ∴不存在实数k使得矩形的面积为10； ②存在． 根据根与系数的关系得， ∵矩形的对角线长为， 即， ∴， 即， 解得， 而， ∴存在k的值为4． 24．(1) (2)12米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式化简即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设若设菜地的宽为x米， 由题意可得：米． 故答案为：． （2）解：由（1）可知：，， 由题意可得：，解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时的宽为12米． 25．(1)年平均增长率为 (2)当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠 【分析】（1）设年平均增长率为，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可； （2）设当每杯售价定为元，根据利润的数量关系列式求解即可； 本题主要考查一元二次方程与实际问题的综合，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， ∴，解得，，（舍）， ∴年平均增长率为． （2）解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额， ∴，整理得，， 解得：，， ∵让顾客获得最大优惠， ∴， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠． 26．(1) (2)0或2或4或6． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 27．(1) (2) 【分析】（1）因式分解法求出方程的两个根，根据衍生点的定义，写出M的坐标即可； （2）先求出点的坐标，得到点所在的直线，进而得到当点所在的直线时，两点距离最近，进行求解即可． 本题考查解一元二次方程，一次函数与几何的综合应用，掌握衍生点的定义，是关键． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∴； （2）∵， 解得：， ∴， ∴点在直线上， 如图：当直线时，M距原点最近， ∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与对称轴的交点为，， ∴为等腰直角三角形， ∴当时，为的中点， ∴； ∴． 28．(1)不是“差1方程” (2)或 (3)4 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】（1）， 或 ∴不是“差1方程”； （2） ∴或， ∵方程(是常数)是“差1方程”， 或 或 （3）由题可得：， ∴解方程得， ∵关于的方程、是常数，是“差1方程”， 时，t有最大值，t的最大值为4 学科网（北京）股份有限公司 $$