精品解析：贵州省六盘水市水城区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024九年级数学上册期中测试卷 期中测试卷 （时间：90分钟满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 2. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 3. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 5. 用配方法解方程3x2－4x－2＝0时，配方正确的是( ) A. (x＋)2＝ B. (x－)2＝ C. (x＋)2＝ D. (x－)2＝ 6. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的长是( ) A. 5cm B. cm C. (20－10)cm D. (20＋10)cm 8. 有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”，第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为( ) A. B. C. D. 9. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7.2 10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )． A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有_______个． 12. 设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________． 13. 代数式－x2＋bx＋c与x的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 1 －x2＋bx＋c －14 －7 －2 2 根据表格中的信息得知：一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的一个解的范围在_____与____之间． 14. 如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________. 15. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． （1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； （2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 18. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形. 20. 如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E.找出图中与PA相等的线段，并说明理由． 21. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球，记下颜色后不放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（要求画树状图或列表） （2）摸出1个球记下颜色后放回，再摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率； （3）观察（1）（2）结果相同吗？你觉得计算两步概率时要注意什么？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 23. 如图①，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1、l2、l3、l4上，EG过点D且垂直于l1于点E，分别交l2、l4于点F、G，EF＝DG＝1，DF＝2. (1)AE＝________，正方形ABCD的边长＝________； (2)如图②，将∠AED绕点A顺时针旋转α°得到∠AE′D′，且0°＜α＜90°，点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AD′C′B′，使点B′、C′分别在直线l2、l4上． ①写出∠B′AD′与α的函数关系并给出证明； ②若α＝30°，求菱形AD′C′B′的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024九年级数学上册期中测试卷 期中测试卷 （时间：90分钟满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 2. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 、四个内角都相等的四边形是矩形，该说法正确，不符合题意； 、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； 故选：． 3. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【解析】 【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误； B、正确； C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误； D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选：B． 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OE，与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE=OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD=，DE=2， ∴OE=，即OF=EF=， 在Rt△DEF中， 根据勾股定理得：DF==1， 即DC=2， 则S菱形ODEC=OE•DC=××2=． 故选A． 5. 用配方法解方程3x2－4x－2＝0时，配方正确的是( ) A. (x＋)2＝ B. (x－)2＝ C. (x＋)2＝ D. (x－)2＝ 【答案】B 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断． 【详解】整理方程得：x2-, 配方得：， 即（x-）2=. 故选B. 【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 7. 如图，已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的长是( ) A. 5cm B. cm C. (20－10)cm D. (20＋10)cm 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解． 【详解】设BP的长为x，则PC=CQ=10-x 在Rt△ABP中，AP=, 在Rt△PCQ中，PQ=, ∵AP=PQ， ∴, 解得：x1=20−10，x2=20+10＞10（舍去） ∴BP的边长是20−10. 故选C. 【点睛】考查正方形和等边三角形的性质及应用． 8. 有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”，第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】列表得： 所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种， 则P=. 故答案是：. 【点睛】考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 7.2 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， ∴OA=OD=5， ∴S△ACD=S矩形ABCD=24， ∴S△AOD=S△ACD=12， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF =×5×PE+×5×PF =（PE+PF） =12， 解得：PE+PF=4.8． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质；和差倍分；定值问题． 10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )． A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值． 【详解】解：如图所示， 作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点， ∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点， ∴AE′=AE=BE=1， ∴△AEE′为等边三角形， ∴∠AEE′=60°， ∴∠E′EB=120°， ∵BE=EE′， ∴∠EE′B=30°， ∴∠AE′B=90°， BE′=， ∵PE+PB=BE′， ∴PE+PB的最小值是：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有_______个． 【答案】15 【解析】 【详解】设小球共有x个， 则， 解得：x＝15 12. 设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【详解】分析：根据根与系数的关系得到m=1，然后解一元二次方程即可得到和的值. 详解：：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵, ∴m=1, ∴ 解得=-2,=3. 故答案为:-2,3. 点睛：本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=-，=. 13. 代数式－x2＋bx＋c与x的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 1 －x2＋bx＋c －14 －7 －2 2 根据表格中的信息得知：一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的一个解的范围在_____与____之间． 【答案】 ①. -1 ②. 1 【解析】 【分析】找到值为0左右两边最接近的数，则解在对应x的范围内. 【详解】∵-2<0<2,且当x=-1时，－x2＋bx＋c＝－2；当x=1时，－x2＋bx＋c＝2， ∴当－x2＋bx＋c＝0时，对应x的范围在－1和1之间. 故答案是：-1,1. 【点睛】考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 14. 如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________. 【答案】4或8 【解析】 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4． 【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E， ∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠A=45∘， ∴△AA′E是等腰直角三角形， ∴A′E=AA′=x， A′D=AD−AA′=12−x， ∵两个三角形重叠部分的面积为32， ∴x(12−x)=32， 整理得,x−12x+32=0， 解得x=4,x=8， 即移动的距离AA′等4或8. 【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 15. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__． 【答案】15°或165° 【解析】 【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解． 【详解】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1， ∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， 当BE=DF时， ∴， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=30°， ∴∠BAE=∠FAD=15°， ②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．如图2， ∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， 当BE=DF时， ∴， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°， ∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为15°或165°． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）移项并把方程两边同时除以2后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． （1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； （2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二个 第一个 6 6 7 7 8 6 12 13 13 14 6 12 13 13 14 7 13 13 14 15 7 13 13 14 15 8 14 14 15 15 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种． ∴． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率． 18. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【答案】100个；60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每个商品的定价是元， 由题意，得， 整理，得， 解得． 当时，进货个个，不符合题意，舍去； 当时，进货个个，符合题意． 答：商店若将准备获利2000元，该商品每个定价为60元时，进货100个． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形. 【答案】（1）∵. ∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上. ∴. 又， ∴. （2）证明：如图②，连接. ∵，，， ∴. ∴，. ∵，， ∴，. 又. ∴， ∴. 又，， ∴， ∴四边形是菱形. 【解析】 【详解】分析：(1)先证点、、共圆,从而得到,又,即可得出结论; (2) 连接,证得到又由于，,结合可得BO=BC, 从而四边形是菱形. 详解：略 点睛：本题考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用圆周角定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 20. 如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E.找出图中与PA相等的线段，并说明理由． 【答案】 图中与PA相等的线段是PE，理由如下： ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠PDC＝45°， 又∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠PDC＝∠DPC，PC＝DC， ∵AB＝DC， ∴AB＝PC， ∵直角三角板的直角顶点放在点P处， ∴∠APE＝90°， ∵∠APB＋∠EPC＝90°， ∵∠EPC＋∠PEC＝90°， ∴∠APB＝∠PEC， 在△PAB和△EPC中， ∵∠B＝∠C＝90°，AB＝PC，∠APB＝∠PEC， ∴△PAB≌△EPC(AAS)， ∴PE＝PA. 【解析】 【分析】可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以PA=PE． 【详解】略 【点睛】考查了角平分线、矩形的性质，题中的角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形. 21. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球，记下颜色后不放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（要求画树状图或列表） （2）摸出1个球记下颜色后放回，再摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率； （3）观察（1）（2）结果相同吗？你觉得计算两步概率时要注意什么？ 【答案】（1） （2） （3） 两次摸法的概率不同， 因此在计算两步概率时要注意第一次摸出的球是放回还是没放回 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．概率所求情况数与总情况数之比,正确画出树状图或者列出表格表示所有情况是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）根据第一次摸球后放回与不放回解答即可． 【小问1详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：． 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】矩形. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证； （2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 试题解析：（1）∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为： 证明：∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， ∵OD=AC， ∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC， ∴四边形ABCD为矩形． 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.平行四边形的判定与性质；3.矩形的判定． 23. 如图①，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1、l2、l3、l4上，EG过点D且垂直于l1于点E，分别交l2、l4于点F、G，EF＝DG＝1，DF＝2. (1)AE＝________，正方形ABCD的边长＝________； (2)如图②，将∠AED绕点A顺时针旋转α°得到∠AE′D′，且0°＜α＜90°，点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AD′C′B′，使点B′、C′分别在直线l2、l4上． ①写出∠B′AD′与α的函数关系并给出证明； ②若α＝30°，求菱形AD′C′B′的边长． 【答案】（1）； （2）①∠B′AD′＝90°－α， 证明：过点B′作B′M垂直于l1于点M， 在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中， ， ∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL）， ∴∠D′AE′+∠B′AM=90°， ∠B′AD′+α=90°， ∴∠B′AD′=90°-α； ②. 【解析】 【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长； （2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可； ②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1，E′O，E′N，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长． 【详解】（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3， 在△AED和△DGC中， ， ∴△AED≌△DGC（AAS）， ∴AE=GD=1， 又∵DE=1+2=3， ∴正方形ABCD的边长=； （2）①略 ②过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N， 若α=30°， 则∠E′D′N=60°，AE′=1， 故E′O= E′N=，E′D′＝， 则菱形的边长为：. 【点睛】考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $