精品解析：2024-2025学年八年级上学期北师大版数学期中预测题

北师大版八年级上册期中预测题 数学试题 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形． 利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：选项，，根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意，选项错误； 选项，，根据勾股定理逆定理可得该组线段可以构成直角三角形，符合题意，选项正确； 选项，，根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意，选项错误； 选项，，根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. “3的算术平方根”可用数学式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的定义以及表示解答此题即可． 【详解】解：“3的算术平方根”可用数学式子表示为， 故选：A． 3. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得 ，， 由点P位于第四象限，得 ，， 点P的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键． 4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在中即可求出． 详解】解：如图， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即； ∴， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， ， ∴此时， ∴， ∴吸管露在罐外部分的长度最短是． 故选：B． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 6. 若点与点关于y轴对称，则等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得的值，进而可得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ． 故选：A． 7. 平面内将长度为8、5、6的三根木棒按如图所示方式连接成折线，其中可以绕点B任意旋转，保持，将A、D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋的长度为d，则d不可能是（ ） A. 16 B. 12 C. 14 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．连接，根据勾股定理可得的长，再分两种情况讨论即可． 【详解】连接，，则． ∵可以绕点B任意旋转， 如图1，当点在线段上时，； 如图2，当点在的延长线上时，， ∴的取值范围为， ∴； 故选：A． 8. 已知点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式，列式计算即可． 本题考查了中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设， ∵点是线段的中点，点的坐标为，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 故选B． 9. 设，，，，，则的值为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．连接．解直角三角形求出，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接． ， 可以假设，， ，， ，， ，， ， 或（舍弃）， ， ， ， 故选C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 比较大小__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为__． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是是解答的关键． 根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为， 根据题意，，， ∴， ∴圆柱的底面周长为． 故答案为：6． 14. 若，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在中，既是的高，也是的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是_________________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握垂线段最短，面积法求三角形的高，是解决问题的关键． 根据垂线段最短，得到时，最小．利用面积法即可求出此时的长． 【详解】∵在中，既是的高，也是的中线，且， ∴， 当的值最小时，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的化简，完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，二次根式的性质分别化简，再计算加法即可； （2）先根据平方差公式及二次根式的性质化简括号内的二次根式，合并后再计算除法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在中，，，，判断形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由，，可得出，即可得出是直角三角形． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式加减运算．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可． 详解】解：∵，∴， ． 19. 已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． （1）点A在y轴上； （2）点A到x轴的距离为3． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）点A的坐标为 或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）根据上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴． 则点A的坐标为． 【小问2详解】 ∵点A到x轴的距离为3， ∴， ∴或 解得或， ∴或， ∴点A的坐标为 或． 20. 在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 21. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为． （1）请你帮他计算出旗杆的高度． （2）如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）． 【答案】（1）旗杆的高度为米 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键． （1）根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度； （2）根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则， 在中，由勾股定理可得： ∴， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米； 【小问2详解】 解：建议：测量的时候每个数据多测量几遍，求其平均数．（答案不唯一）． 22. 已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P纵坐标比横坐标大5； （3）点P到x轴的距离与到y轴距离相等． 【答案】（1）P(0，4) （2）(-2，3) （3）(8，8)或(，) 【解析】 【分析】（1）由在y轴上的点的坐标特点：横坐标为0，即可求出答案； （2）由题意可得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案； （3）根据点P到坐标轴距离相等即得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案． 【小问1详解】 ∵点P在y轴上， ∴，即2m-6=0， 解得：m=3， ∴m+1=4， ∴P(0，4)； 【小问2详解】 ∵点P的纵坐标比横坐标大5， ∴，即m+1-(2m-6)=5， 解得：m=2， ∴2m-6=-2，m+1=3， ∴点P的坐标为(-2，3)； 【小问3详解】 ∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等， ∴，即|2m-6|=|m+1|， ∴2m-6=m+1或2m-6=-m-1， 解得m=7或m=， 当m=7时，2m-6=8，m+1=8，即点P的坐标为(8，8)； 当m=时，2m-6=，m+1=，即点P的坐标为(，)． 故点P的坐标为(8，8)或(，)． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，点到坐标轴的距离的定义．理解题意，根据题意求出m的值是解题关键． 23. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：__________，__________． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示． 化简． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，再去掉绝对值即可； （2）先根据数轴的位置判断，则，，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可． 【小问1详解】 根据题意可知；. 故答案为：4；． 【小问2详解】 由数轴可知，则，， ∴，，． 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解二次根式与绝对值的关系是解题的关键． 24. 定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】（1）是，见解析； （2）或 【解析】 【分析】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． （1）根据勾股定理逆定理即可判断． （2）设，则，分两种情形：①当为最长线段时，依题意；②当为最长线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：是． 理由：， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形． 故点、是线段的勾股分割点． 【小问2详解】 设，则， 当为最长线段时，依题意， 即，解得； 当为最长线段时，依题意． 即，解得． 综上所述的长为或． 25. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． （1）如图2，，，求证，并用此图验证勾股定理； （2）若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为 ，图3（2）中空白部分的面积为 ，从而得到 ；（用a，b，c表示） （3）用（2）中4个全等的直角三角形拼成如图4中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2），， （3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据得到，然后等量代换得到，求出，即证明出；连接，设，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵，， ∴图（1）中空白面积； 图（2）中空白面积． ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级上册期中预测题 数学试题 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. “3的算术平方根”可用数学式子表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 024 6. 若点与点关于y轴对称，则等于（　　） A B. 0 C. 1 D. 11 7. 平面内将长度为8、5、6的三根木棒按如图所示方式连接成折线，其中可以绕点B任意旋转，保持，将A、D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋的长度为d，则d不可能是（ ） A. 16 B. 12 C. 14 D. 10 8. 已知点是线段中点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 设，，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 12. 比较大小__________ 13. 如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为__． 14. 若，则的值是__________ 15. 如图，在中，既是的高，也是的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是_________________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 在中，，，，判断的形状，并说明理由． 18. 计算： 19. 已知点，根据下列条件，求出点A的坐标． （1）点A在y轴上； （2）点A到x轴的距离为3． 20. 在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 21. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为． （1）请你帮他计算出旗杆高度． （2）如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）． 22. 已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）点P到x轴的距离与到y轴距离相等． 23. 是二次根式一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：__________，__________． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示． 化简． 24. 定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 25. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． （1）如图2，，，求证，并用此图验证勾股定理； （2）若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为 ，图3（2）中空白部分的面积为 ，从而得到 ；（用a，b，c表示） （3）用（2）中4个全等的直角三角形拼成如图4中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$