精品解析：上海市普陀区2024—-2025学年上学期八年级数学期中考试试卷

2024学年第一学期八年级数学学科期中考试 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （常数） 4. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果一元二次方程有两个实数根，那么 B. 如果，那么 C. 两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D. 底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 6. 在中，为中点，下列说法错误的是（ ） A. 点、到直线的距离相等 B. 如果，那么 C. 如果，，垂足分别为点，，那么 D 如果，那么 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 当x __________时， 有意义． 8. 化简：_______． 9. 的有理化因式可以是__________．（只需填一个） 10. 已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求方程：___________． 11. 不等式的解集是_______________． 12. 在实数范围内因式分解：___________． 13. 关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是________． 14. 把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________． 15. 某工厂五月份产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为_____．（填百分数） 16. 如图，在中，，平分，，已知，那么_______________． 17. 如图，已知，，，如果，，，那么__________． 18. 我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下： 由题意，可知，得． 原方程变形为， ， （舍去）或， ． 已知，参考以上方法，可求得________． 三、解答题（本大题共7题，第19202题每题6分；第2324题每题8分；第25题12分，满分52分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 配方法解方程：． 22. 线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 23. 求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明． 已知：如图，在中，_______________． 求证：_______________． 证明： 24. 如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆（与），不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库（）的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长． 25. 已知在中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点． （1）如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； （2）设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级数学学科期中考试 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、，故错误； D、，故错误； 故选：A． 3. 下列选项是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，进行判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义． 【详解】解∶A． 含有分式，不是一元二次方程， 故不符合题意； B．是代数式，不是一元二次方程，故不符合题意； C．是一元二次方程， 故符合题意； D．（为常数），当时， 不是一元二次方程， 故不符合题意； 故选：C． 4. 下列关于方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、由得， ， 方程没有实数根； B、， 方程没有实数根； C、， 当且同号时，方程没有实数根； D、， 经整理得：，解得：， 方程有实数根； 故选：D 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果一元二次方程有两个实数根，那么 B. 如果，那么 C. 两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D. 底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，根据根的判别式，等腰三角形的性质，算术平方根定义，三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．如果一元二次方程有两个实数根，那么，原命题不是真命题，故A不符合题意； B．如果，那么，此命题为真命题，故B符合题意； C．如图和都是等腰三角形，且，且腰上的高，从图形中显然可看出这两个三角形不全等，原命题是假命题，故C不符合题意； D．如图，等腰和中，，但与不全等，因此原命题是假命题，不符合题意． 故选：B． 6. 在中，为中点，下列说法错误的是（ ） A. 点、到直线的距离相等 B. 如果，那么 C. 如果，，垂足分别为点，，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形中线的性质等知识，过C作于E，过B作于F，证明，得出，即可判断选项A；根据等边对等角、三角形内角和定理即可判断选项B；根据三角形中线的性质、等面积法即可判定选项C；由选B知，当时，，与、数量关系无关，即可判定选项D． 【详解】解∶连接，过C作于E，过B作于F， 则， 又，， ∴， ∴， ∴点、到直线的距离相等，故选项A正确，但不符合题意； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故选项B正确， 但不符合题意； 如图， ∵为中点， ∴， 又，， ∴， ∴，故选项C正确， 但不符合题意； 由选B知，当时，，与、数量关系无关，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 当x __________时， 有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解:∵有意义， ∴ 解得，， 故答案为：． 8. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 的有理化因式可以是__________．（只需填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，理解有理化因式的意义和平方差公式是正确解答的关键．根据有理化因式的意义即可得出答案． 【详解】解∶ ∵， ∴的有理化因式可以是， 故答案为∶（答案不唯一）． 10. 已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解∶∵一元二次方程常数项为0， ∴设一元二次方程为， ∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故该方程为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 不等式的解集是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，分母有理化等知识，先移项，合并同类项，然后根据分母有理化求解即可． 【详解】解∶， ， ， ∴，即， 故答案为：． 12. 在实数范围内因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解方程，然后分解因式即可． 【详解】解： ，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 13. 关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 14. 把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 【解析】 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应边相等， ∴命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 15. 某工厂五月份的产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为_____．（填百分数） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设这个降低的百分率为x，根据等量关系式：五月份的产值七月份的产值，列出方程即可． 【详解】解∶设这个降低的百分率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴这个降低的百分率为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，，已知，那么_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，根据等边对等角可求出，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线定义可求出，根据等边对等角可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 17. 如图，已知，，，如果，，，那么__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，先根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，然后根据证明，得出，，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 故答案为：5． 18. 我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下： 由题意，可知，得． 原方程变形为， ， （舍去）或， ． 已知，参考以上方法，可求得________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，参照材料，把原方程变形为，求解即可． 【详解】解∶由题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 解得（舍去）或， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，第19202题每题6分；第2324题每题8分；第25题12分，满分52分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先化简二次根式以及分母有理化，再计算加减运算即可． 【详解】解： ； 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 21. 配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：”是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， ， ∴， ∴，． 22. 线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解∶设，则 ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 23. 求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明． 已知：如图，中，_______________． 求证：_______________． 证明： 【答案】在中，平分，交边于点，且；；证明见解析 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．证明，即可求解． 【详解】已知：如图，在中，平分，交边于点，且， 求证：． 证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 24. 如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆（与），不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库（）的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长． 【答案】新仓库相邻两边的长分别为8米，6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知条件列出一元二次方程是解题的关键．设米，则米，根据“新的长方形仓库（）的面积增加32平方米”列方程求解即可． 【详解】解∶ 设米，则米， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴米，米， 即新仓库相邻两边的长分别为8米，6米． 25. 已知在中，，，，过点作直线，点直线上一点，连接，作交直线于点． （1）如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； （2）设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据等边对等角可求出，根据余角的性质可得出，然后在中，根据三角形内角和定理求解即可； ②在上取点R，使，联结，根据证明，即可得证； （2）分P在线段上，在点的右侧，在点的左侧讨论，根据的面积为4列出关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 ①解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②在上取点R，使，联结， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当P在线段上，过P作于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， 又的面积为4， ∴，即， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴在线段上，不存在点P，使的面积为4； 点P在点的右侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 点P在点的左侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， 同理可证， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当m的值为或时，的面积为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$