2025年中考数学二轮专题中考数学压轴题训练动点问题

2025年中考数学二轮专题中考数学压轴题训练动点问题 人教版2024—2025学年九年级下册 例1.如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（　　） A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3 例2.如图，∠MON＝90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（　　） A．2.4 B． C． D． 例3.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE． （1）求∠AOB的度数； （2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； 例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　 　． 例5.正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（　　） A．2 B．1 C．4 D． 练习1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　） A． B． C． D． 练习2.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为　 　． 练习3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　） A． B．2 B． C．π D．π 练习4.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　． 练习5.如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（　　） A．2 B．2 C． D．5 课后练习 1.如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　． 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧． （1）当点F运动到点O时，CE的长为 　 　； （2）点F在线段AO上从点A至点O运动过程中，CE的最小值为 　 　． 3.如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为　　． 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边AD上，且AD＝4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则＝　 　.若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 　 　． 5.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 　　． 6.如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是 　 　． 7.如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度． 8.若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP． （1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′． ①点P'的轨迹是 　 　（填“线段”或者“圆”）； ②CP'的最小值是 　 　； （2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值． （3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 　　． 课后练习： 1.解：∵△EFG为等边三角形， ∴EF＝EG， 把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ， ∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°， 即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上， 易得四边形HEPQ为矩形， ∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°， ∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°， ∴CP＝CE＝， ∴CQ＝CP+PQ＝+＝． ∴CG的最小值为． 故答案为． 2.解：（1）如图所示，连接OE并延长至G，使得OD＝OG，连接DG、CG， 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°， ∴AO＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴DA＝DO，∠ADO＝60°． ∵△DFE是等边三角形， ∴DF＝DE，∠EOF＝60°， ∴∠ADF＝60°﹣∠ODF＝∠ADE， ∴△ADF≌△ODE， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°，AF＝OE， ∵DO＝OG， 则△DOG是等边三角形， ∴OG＝DO＝AO， ∴OG﹣OE＝OA﹣AF，即GE＝OF， ∴点F在线段AO上，从点A至点O运动，则E在线段OG上运动， ∴当F至O点时，E运动至G点，如图所示， △DFE为△DOG， ∠ODG＝60°，且DO＝DG＝GO＝OC， ∴DGCO为菱形， ∴CG＝OD＝AD， 又∵AB＝6， ∴AD＝， 解得：AD＝， ∴CG＝CE＝． ∴当点F运动到点O时，点E运动到点G，则CE的长， 故答案为：． （2）由（1）可知点F在线段A上从点A至点运动过程中，运动到DC的中点时，CE的最小值为DC， ∵DC＝AB＝6， ∴CE＝＝3． 故答案为：3． 3.解：∵点A（﹣3，0），B（0，3）， ∴AB＝， ∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP， ∴，P为主动点，M为从动点，C为定点， 由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于， ∴点M运动的路径长为÷＝6， 故答案为：6． 4.解：过F作FK⊥AD交AD延长线于K，如图： 设AP＝m， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，AD＝4AE， ∴AE＝2，DE＝6，∠A＝∠EDC＝90°， ∵EF⊥PE， ∴∠PEF＝90°， ∴∠DET＝90°﹣∠AEP＝∠APE， ∴△APE∽△DET， ∴＝，即＝， ∴DT＝， ∴CT＝CD﹣DT＝8﹣， ∵DE∥CF， ∴△DET∽△CFT， ∴＝，即＝， ∴CF＝4m﹣6， ∴DK＝CF＝4m﹣6， ∴EK＝4m， ∵∠DET＝∠APE，∠A＝∠K＝90°， ∴△APE∽△KEF， ∴＝＝＝4； 过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，如图： ∵AD∥CB，GH⊥AD， ∴GH⊥BC． 在△EGM和△FHM中， ， ∴△EGM≌△FHM（AAS）， ∴MG＝MH． ∴点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段， 当点P与A重合时，BF1＝AE＝2， 当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°， ∴∠F2＝∠BEF1． ∵∠EF1B＝∠EF1F2， ∴△EF1B∽△∠EF1F2． ∴＝，即：＝， ∴F1F2＝32， ∵M1M2是△EF1F2的中位线， ∴M1M2＝F1F2＝16，即点M运动的路径长为16； 故答案为：4；16． 5.解：连接CF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BCAC， ∵线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴F点在直线CF上运动， ∴CF＝AE，∠BCF＝30°， ∴F点在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，DF最小， ∵CD＝3， ∴CF＝ ∴AE＝， ∵AD＝3， ∴DE＝， 故答案为：． 6.解：CD绕C点逆时针旋转60°得到CM，连接BM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BCM＝60°， ∵AC＝BC， ∴△ACD≌△BCM（SAS）， ∴BM＝AD，∠ADC＝90°， 当DF⊥BM时，DF有最小值， ∵D是BC的中点， ∴DF＝CM， ∵BC＝12， ∴DF＝3， ∴线段DF长度的最小值为3， 故答案为：3． 7.解：如图当点P与A重合时，作MH⊥AB于H，作CM1⊥MH于M1，连接BC，CH，BM1．取AM的中点K，连接KC、KH． ∵KM＝KA＝KC＝KH， ∴A、H、C、M四点共圆， ∴∠CHB＝∠AMC＝60°， ∵CB＝， ∴BH＝BC•tan30°＝，AH＝AB﹣BH＝3﹣， 在Rt△ACB中，AC＝＝2， 在Rt△ACM中，AM＝AC÷cos30°＝， 在Rt△AMH中，HM＝＝+， 当点P与B重合时，点M与M1重合，易知HM1＝BC＝， ∴MM1＝HM﹣HM1＝， ∴当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段MM1，M点运动路径长度为． 8.解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC＝AB， 由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°， ∴∠BAC﹣∠PAB＝∠PAP'﹣∠PAB， ∴∠PAC＝∠P'AB， 在△ABP'和△ACP中， ， ∴△ABP'≌△ACP（SAS）， ∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长， ∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆， 故答案为：圆； ②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴， 当点P'在线段BC上时，CP'最小＝， 故答案为：； （2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示： ∵△APQ和△ACD是等边三角形， ∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°， ∴∠DAQ＝∠CAP， 在△ADQ和△ACP中， ， ∴△ADQ≌△ACP（SAS）， ∴DQ＝CP＝2， 当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6； （3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'， 则PM＝PA＝2，P'M'＝P'A＝4+2＝6， 则CO′是梯形PMM'P'的中位线， ∴， 连接MM'''， 则∠MM'''M'＝90°， ∴P'M′''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4， ∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''， ∴△MM'M'''是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$