2025年九年级数学中考二轮复习圆和二次函数压轴题综合训练

中考二轮复习圆和二次函数压轴题综合训练人教版2024—2025学年九年级下册 例1．如图1，在△ABC中，点O是AB的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与AC，BC相切于点P，点Q．点D是线段PC上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交BC于点E，点F是切点．OP，OA的长度是关于t的一元二次方程2t2﹣7rt+5r2＝0的两根． （1）求cos∠A的值； （2）如图2，连接线段DO，EO，在D点的运动过程中，求的值； （3）设CD＝x，CE＝y，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）． 练习1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变． （1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值； （2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，． ①求证：∠ACQ＝∠CPA； ②求y与x之间的函数关系式． 练习2．如图，线段AB＝10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰△PAC，且PA＝PC，cos∠CAP，以P为圆心，PB长为半径作⊙P交腰PC于点D（不与点P，C重合）． （1）若D是PC的中点，求AC的长； （2）当⊙P与AC相切时，求⊙P的半径； （3）设BD＝x，AC＝y． ①求y关于x的函数表达式； ②连接AD，当△ADB的外接圆的圆心O在⊙P上时，求AC的长． 例2．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于x的函数中，是“D函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D函数”的打“x”，（m≠0）（ 　 　）；y＝3x﹣1（ 　 　）；y＝2x（ 　 　）； （2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“D函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“D点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝1的右侧，求a，b，c的值或取值范围； （3）若关于x的“D函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件： ①a+b+c＝0；②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0． 求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围． 练习1如果一个函数的图象与直线y＝3x+4有交点，则称该函数为“三高四新函数”，交点为该函数的“新高点”． （1）判断下列函数是不是“三高四新函数”，是“三高四新函数”的请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“三高四新函数”的打“×”． ①y＝3x﹣4 　 　；②y　 　；③y＝﹣x2+x+3 　 　． （2）若“三高四新函数”y有两个不同的“新高点”且以“新高点”和原点为顶点的三角形面积为，求k的值； （3）若关于x的二次函数y＝ax2+（2b+3）x+（c+4）有两个不同的“新高点”，不妨将这两个点设为A（x1，y1），B（x2，y2），且二次函数还满足以下三个条件： ①开口向上；②a+b+c＝0；③a＞2b＞3c． 求|y1﹣y2|的取值范围？ 练习2.2024年是我市抓落实活动年，全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（3，3）称为“三拼三促”点，经过P（3，3）的函数，称为“三拼三促”函数． （1）下列函数是“三拼三促”函数的有 　 　； ①y＝2x﹣3； ②y＝x2﹣3x； ③y＝﹣2x2﹣3x+30； ④y； （2）若关于x的二次函数y＝ax2+k是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与y轴的正半轴相交，求a的取值范围； （3）如图，关于x的二次函数y（x﹣3）2的图象顶点为A，点B（x1，y1）和点C（x2，y2）是该二次函数图象上的点且使得∠BAC＝90°，试判断直线BC是否为“三拼三促”函数，并说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/20 14:37:08；用户：蒋勇军；邮箱：15273426720；学号：24430299 课后练习： 1.已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）①该抛物线的对称轴为直线 　 　；②求点A，B的坐标； （2）过点C（0，t）作y轴的垂线l，与抛物线交于P（x1，t），Q（x2，t），与直线y＝x﹣3交于点N（x3，t），若存在t，使得x1＜x2＜x3且x1+x2+x3＝9，求t和x3 2. 在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）①当x＝a时，求y的值； ②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）． （3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 3.已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2． （1）用含a的代数式表示b； （2）当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值； （3）当y1＜y2时，求a的取值范围． 4.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，其中a＜0）上有两点M（x1，y1），N（x2，y2）． （1）若M（1，t），N（﹣1，﹣t），求的值； （2）已知x1＜x2，抛物线的对称轴为x＝m．若对于x1+x2＜7，都有y1＜y2，求m的取值范围； 5.已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）． （1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m； 6．我们不妨将函数图象关于y轴对称的函数称为“对称函数”． （1）判断下列函数是否为对称函数？ ①y＝﹣2x；②y＝3x2+2；③y＝|x|． （2）已知对称函数y＝x2﹣2|x|﹣3． ①设函数位于y轴左侧图象与x轴的交点为A，y轴右侧图象的最低点为B，在y轴上找一点P，使|PA﹣PB|值最大，求P点坐标． 7.如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F． （1）求证：四边形CEPF是正方形； （2）当sinA＝时，求CP的长； （3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值． 8.如图，点C是以AB为直径的半圆O上一动点，且AB＝2，AD平分∠BAC交BC于点D，CP平分∠BCA交AD于点P，PF⊥AC，PE⊥BC． （1）求证：四边形CEPF为正方形； （2）求AC•BC的最大值； （3）求的最小值． 9.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连接AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E． （1）如图1，连接AD，求证：∠ADC＝∠DEC． （2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值． （3）如图2，连接AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y， ①求y关于x的函数解析式； ②若＝，求y的值． 10.如图1，▱ABCD为⊙O的内接四边形，已知，以A为顶点作∠PAZ＝45°，交BC于P，交CD于Z． （1）求证：四边形ABCD为正方形； （2）若BC＝4BP，求DZ：CZ的值； （3）如图2，过P作PQ⊥AD于Q，过Z作ZX⊥AB于X，交PQ于Y．若，求四边形ZYPC的面积． 课后能力提升练习作业 作业1：如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB＝90°，OA＝4，AB＝2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物找正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，分别过点P，点D作x轴的垂线，交x轴于R，S两点，问：四边形PRSD的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由． （3）如图2，把点B向下平移两个单位得到点T，过O，T两点作⊙Q交x轴，y轴于E，F两点，若M、N分别为弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值． 作业2．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是线段CD延长线上的一点，连结FA交⊙O于点G，连结CG交AH于点P，连结CA． （1）求证：∠ACG＝∠F． （2）如图②，若CA＝CG，求证：AG＝CD． （3）如图③，连结DG，AE＝8．BE＝2． ①若tan∠F，求AP的长； ②求AG•DG的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$