精品解析：广东省深圳市罗湖区罗湖外语初中学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

罗湖外语初中学校2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 6，8，10 C. 5， 12， 13 D. 1，，2 3. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个 4. 已知直线经过点和点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A. a=b B. 2a+b=﹣1 C. 2a﹣b=1 D. 2a+b=1 7. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 10. 如果一个正数a的两个不同平方根分别是和，则____ 11. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm． 12. 将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 _________． 13. 如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为______． 三．解答题（共61分） 14. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式， 小亮： 解：原式＝． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 16. 如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（　　） A. 15 B. C. 18 D. 17. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． （2）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 18. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的长； （3）点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 19. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行了研究，并解决以下问题．其研究过程如下： （1）绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： 0 1 2 3 4 3 1 1 ① ； ②若点，都在该函数图象上，则 ； 【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． （2）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 ； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为 ； ③由图象可知，当时，的取值范围 ． 20. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖外语初中学校2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根， 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为非负数． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 6，8，10 C. 5， 12， 13 D. 1，，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：32＋52≠72，故选项A符合题意； 62＋82＝102，故选项B不符合题意； 52＋122＝132，故选项C不符合题意； 12＋()2＝22，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 3. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意； ③零有平方根，原说法不合题意； ④立方根等于本身的数有0，，原说法不合题意； 故选：B． 4. 已知直线经过点和点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图像及其性质判断即可． 【详解】解：，y将随x的增大而减小，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A. a=b B. 2a+b=﹣1 C. 2a﹣b=1 D. 2a+b=1 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据作图方法得点P在第二象限角平分线上， ∴P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0， ∴2a+b=﹣1． 故选B． 7. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、勾股定理、最短路径问题，先求得该直线的解析式为，进而求得和，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时的周长取最小值，利用两点坐标距离公式求得即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， 该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ， ， 如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， 的周长， 此时的周长取最小值， ， ， 的周长取最小值为． 故选：A． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 10. 如果一个正数a的两个不同平方根分别是和，则____ 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查平方根，掌握一个数的两个平方根的特点是解决问题的关键． 根据一个数的两个平方根的特点，列方程求出的值，进而确定这个正数． 【详解】解：因为一个正数的两个不同平方根分别是和， 所以， 解得， 于是， 即一个正数的两个不同平方根分别是6和， 所以这个正数的值为36， 故答案为：36． 11. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】展开图如图所示： 由题意，在Rt△APQ中，PD=10cm，DQ=5cm， ∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ==5（cm）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 12. 将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 _________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案． 【详解】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：， 令，即，解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：4． 13. 如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理的应用等，根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形，进而求得，， ，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共61分） 14. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算及实数的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的加减运算法则求出答案； （2）直接利用二次根式的混合运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的混合运算法则及平方差公式求出答案； （4）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 15. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式， 小亮： 解：原式＝． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮 （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质即可解答； （2）根据完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴代数式， ∴小亮的解法错误， 故答案为小亮． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键． 16. 如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（　　） A. 15 B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，进而推出，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， 且， ， ， ， ， ， 故选：B． 17. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． （2）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】（1）， （2）校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可． （2）将分别代入两个解析式中，计算求解，然后比较作答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 【小问2详解】 解：根据（1）中解析式，，， 当元时，， 解得：， 当元时，， 解得：， ， 学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 18. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的长； （3）点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行了研究，并解决以下问题．其研究过程如下： （1）绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： 0 1 2 3 4 3 1 1 ① ； ②若点，都在该函数图象上，则 ； 【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． （2）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 ； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为 ； ③由图象可知，当时，的取值范围 ． 【答案】（1）①3； ②， 画出函数图象如图， （2）①；②，；③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）①将代入函数即可求解出；②根据表格中数据即可求得结论；再利用描点法画出图象， （2）①观察图象可得出函数的最小值；②观察图象可得出与轴的交点的横坐标，可得方程的解；③观察图象可得出时，的取值范围． 【详解】解：（1）①将代入函数得， ， ， 故答案为：3； ②由表格中数据可知：∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为：2； （2）①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为，； ③由图象可知，当时，的取值范围 ． 20. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】（1）证明：∵S梯形ABCD=S梯形ABCD= ． （2）能，连接，证明如下： 如图： S四边形ABCD=， S四边形ABCD=， ， ． （3）①C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）； ②符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0） 【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据四边形ABCD的面积的两种表示方法即可证明； （3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解； ②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】解：（1）略 （2） （3）①设，则，又， 根据翻折可知： ，， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时， ， 设，则，解得， ， ，； ，，， ，； 当点在轴负半轴上时， ，， ； ，， ， ，． ∴符合条件的所有点的坐标为：，、，、、，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $