专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优））-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 方程的解集 题型四 一元一次方程的定义 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25六年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 1．（23-24六年级上·四川乐山·期末）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 3．（23-24六年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24六年级上·上海青浦·期末））药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 1．（23-24六年级上·河北唐山·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 2．（23-24六年级上·福建泉州·阶段练习）x的3倍与4的和等于x的5倍与2的差，方程可列为 ． 3．（23-24六年级上·江苏常州·期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 1．（23-24六年级上·上海·期中）以为解的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·上海长宁·期中）关于x的方程 （1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程． （2）当a、b满足 时，此方程无解． 3．（2024六年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24六年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 1．（23-24六年级上·上海·期中）在下列方程，，，中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级上·上海·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为： ． 3．（23-24六年级上·全国·课前预习）判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因． （1）－2＋5＝3（    ）；（2） 3x－2＝7（    ）      （3） m＝5（    ）；（4）x＞4（    ） （5）x＋y＝6（    ）；（6） 2x²－5x＋1＝0（    ） （7）2a ＋b （      ）；（8）x＝3 （    ） 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（23-24六年级上·浙江金华·期末）依次取的值为，，，，，，代入代数式求出的代数式的值如下表： 则是下列哪个方程的解（        ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级上·重庆潼南·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C．5 D．2 2．（24-25六年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 3．（23-24六年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24六年级上·广西贺州·期中）若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级上·上海金山·期中）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（23-24六年级上·上海·期末）将方程36x-2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是 ． 3．（23-24六年级上·山东威海·期末）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】 （23-24六年级上·上海杨浦·期末）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．23-24 B．2024 C．2025 D．2026 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（23-24六年级上·上海杨浦·期末））设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 3．（23-24六年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（23-24·江苏盐城·六年级专题练习）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24·甘肃白银·六年级专题练习）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·江苏·六年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 3．（23-24·安徽·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（23-24·全国·六年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 1．（23-24·广东揭阳·六年级课时练习）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 2．（23-24·六年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 3．（23-24·六年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024六年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 3．（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级上·浙江温州·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 0 4 A． B． C． D． 6．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与5的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 7．（23-24六年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 8．（23-24六年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 9．（23-24六年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 10．（2024六年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 11．（23-24六年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25六年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 13．（23-24六年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 14．（23-24六年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 15．（23-24六年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 方程的解集 题型四 一元一次方程的定义 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25六年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 1．（23-24六年级上·四川乐山·期末）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键． 【详解】、，不是方程，不符合题意； 、是代数式，不是方程，不符合题意； 、是不等式，不符合题意； 、是方程，符合题意； 故选：． 2．（23-24六年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 3．（23-24六年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24六年级上·上海青浦·期末））药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 1．（23-24六年级上·河北唐山·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 2．（23-24六年级上·福建泉州·阶段练习）x的3倍与4的和等于x的5倍与2的差，方程可列为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 3．（23-24六年级上·江苏常州·期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案． （2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 面积为：． （2）由题意得， ， 解得， a的值为． 【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次方程有无数个解的情况． 利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解： ， 方程有无数多个解， ∴，，解得，， ∴， 故选：C． 1．（23-24六年级上·上海·期中）以为解的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入各选项的方程中，逐一计算验证即可． 【详解】解：当时， A、方程左边，右边， ∵左边≠右边， ∴不是的解，本选项不符合题意； B、方程左边，右边0， ∵左边=右边， ∴是的解，本选项符合题意； C、方程左边，右边， ∵左边≠右边， ∴不是的解，本选项不符合题意； D、方程左边，右边， ∵左边≠右边， ∴不是的解，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键． 2．（23-24六年级上·上海长宁·期中）关于x的方程 （1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程． （2）当a、b满足 时，此方程无解． 【答案】 为任意数 【分析】（1）方程移项合并整理得到结果，根据一元一次方程的定义即可得出答案； （2）方程移项合并整理得到结果，由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可． 【详解】解：（1） 移项得：， 合并同类项得：， ∴为任意数，此方程为一元一次方程， 故答案为：为任意数． 解：（2）由原方程得， 则时，此方程无解， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．（2024六年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24六年级上·全国·单元测试）在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解． 【详解】解：①，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ②，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意； ③，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意； ④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 综上所述，一元一次方程的共有1个， 故选：A ． 1．（23-24六年级上·上海·期中）在下列方程，，，中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得出正确答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，下列各方程，，，，， 为一元一次方程的有，共计1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的知识，理解并掌握一元一次方程的定义是解题关键． 2．（23-24六年级上·上海·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程．含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，即为一元一次方程，据此相关性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24六年级上·全国·课前预习）判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因． （1）－2＋5＝3（    ）；（2） 3x－2＝7（    ）      （3） m＝5（    ）；（4）x＞4（    ） （5）x＋y＝6（    ）；（6） 2x²－5x＋1＝0（    ） （7）2a ＋b （      ）；（8）x＝3 （    ） 【答案】（1）×；见解析；（2）√；（3）√；（4）× ；见解析；（5）√；（6）√；（7）×；见解析；（8）√ 【解析】略 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（23-24六年级上·浙江金华·期末）依次取的值为，，，，，，代入代数式求出的代数式的值如下表： 则是下列哪个方程的解（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格以及方程的解的定义，即可求解． 【详解】解：∵当时， ∴是的解， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 1．（23-24六年级上·重庆潼南·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C．5 D．2 【答案】A 【分析】此题可将代入方程，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值． 【详解】解：将代入方程， 得： 解得：． 故选：A． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 2．（24-25六年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 3．（23-24六年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24六年级上·广西贺州·期中）若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，直接利用等式的基本性质分别判断得出答案． 【详解】：A、，∴，故本选项错误，不符合题意； B、，，故本选项错误，不符合题意； C、，，故本选项错误，不符合题意； D、，，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 1．（23-24六年级上·上海金山·期中）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 2．（23-24六年级上·上海·期末）将方程36x-2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是 ． 【答案】 【分析】根据减数＝被减数−差得到2y的表达式，然后等式两边都除以2即可得到y的表达式． 【详解】解：∵36x−2y＝56， ∴2y＝36x−56， ∴y＝18x−28， 故答案为：y＝18x−28． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，即：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 3．（23-24六年级上·山东威海·期末）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【答案】(1)③④①② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：解：原方程化为③， 去分母，得 ②， 去括号，得④， 移项，得①， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得②． 故答案为：③④①②； （2）解：原方程化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把未知数x的系数化为1，得：． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】 （23-24六年级上·上海杨浦·期末）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．23-24 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 2．（23-24六年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 【答案】7 【分析】根据等式的性质计算，得到答案．本题考查的是等式的性质以及已知式子的值求代数式的值，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， （等式两边同时除以，等式仍成立）， ， 故答案为：7． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． （1）根据等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】（1）解：两边都加4， 得； （2）两边都减2， 得， 两边都乘以2， 得； （3）两边都减1， 得， 两边都除以3， 得； （4）两边都加2， 得， 两边都除以4， 得． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（23-24六年级上·上海杨浦·期末））设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 2．（23-24六年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 3．（23-24六年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（23-24·江苏盐城·六年级专题练习）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 1．（23-24·甘肃白银·六年级专题练习）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可； 【详解】解：A.当x=-2时，，故不符合题意； B. 当x=-2时，，故不符合题意； C. 当x=-2时， ，故不符合题意； D. 当x=-2时，，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2．（23-24·江苏·六年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 3．（23-24·安徽·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析. 【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为： ∵x=2是方程ax﹣4=0的解， ∴把x=2代入得：2a﹣4=0， 解得：a=2， 将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（23-24·全国·六年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 1．（23-24·广东揭阳·六年级课时练习）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 【答案】x=110 【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案． 【详解】解：第1个方程是x+=3，解为x=2×1=2； 第2个方程是=5，解为x=2×3=6； 第3个方程是=7，解为x=3×4=12； … 可以发现,第n个方程为=2n+1， 解为n(n+1) ． ∴第10个方程=21的解为：x=10×11=110． 故答案为x=110． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题． 2．（23-24·六年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 【答案】见解析 【详解】试题分析： 我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“，其中为正整数”，而其解为：. 试题解析： （1）猜想得：的解为，验证如下： 当时，原方程左边==方程是右边，∴是原方程的解； 当时，原方程左边==方程右边， ∴是原方程的解；即猜想是正确的； （2）一般情形：方程的解为. 3．（23-24·六年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 【详解】解：由题意，得 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 2．（2024六年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 3．（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换元法得出y+1=3，进而解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=3， ∴关于y的一元一次方程，y+1=3， 解得：y=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 故选：D． 5．（23-24六年级上·浙江温州·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 0 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，由表格可知，当时，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，， ∴， ∴当时，； ∴的解为； 故选C． 6．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与5的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【分析】x与5的和的2倍，即，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，理解题意是解题的关键． 7．（23-24六年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 8．（23-24六年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解． 【详解】把代入方程，得：，即， 代入所求方程，得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 9．（23-24六年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 10．（2024六年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 11．（23-24六年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论； （2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论； （3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论； （4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论． 【详解】（1）解：两边同时加5，得． （2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得． （3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得． （4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得． 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 12．（24-25六年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 13．（23-24六年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)， 【分析】（1）本题考查等式的性质，直接将，代入式中计算即可判断； （2）本题考查等式的性质，只需写出一组，代入等式中成立即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 把，分别代入原等式左右两边， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； （2）解：当，， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； 故答案为：，（答案不唯一） 14．（23-24六年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可； （2）先求出方程的解为，然后把代入原方程中进行计算即可； （3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得： 且， 且， ， 的值为； （2）解：， ， ， 已知方程与方程的解互为相反数， 把，代入中可得： ， ， 的值为：； （3）解：把代入中可得： ， ， ， ， 已知方程与关于的方程的解相同， ， 解得： 的值为：． 【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键． 15．（23-24六年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$