5.1.1 变化率问题 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变换率 问题 人教A版(2019)选择性必修二 在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等 知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异， 知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢?这节课我们就来研究一下 这个问题。 新课导入 新课学习 一.平均速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单 位：m) 与起跳后的时间t (单位：s) 存在函数关系h(t)=-4.9t²+4.8t+11. 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态. 例如，在O≤t≤0.5这段时间里， 在1≤t≤2 这段时间里， 一般地，在t≤t≤t₂ 这段时间里， 运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段的运动得越来越慢，在下降阶 段的运动越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在 运动员在 这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处 于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 这段时间里的平均速度，发现了什么?用平均速度描述运动 结论 员的运动状态有什么问题吗? 计算运动员在 思 二.瞬时速度 瞬时速度的概念 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 思考：瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t=1 s 时的瞬时速度吗? 设运动员在to时刻附近的某一时间段[t₀+△t,t₀ (△t<0)或[to,to+△t(△t>0)的平 均速度是V, 所以当不断缩短上述时间段的长度，即△t无限趋近于0时，V 将越 来越趋近于运动员在to 时刻的瞬时速度.求瞬时速度体现了运动变化的观点. 设运动员在t。时刻附近某一时间段内的平均速度是v, 可以想象，如果不断缩 短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t。时刻的瞬时速度. 为了求运动员在t=1时的瞬时速度，在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+△t,△t是 时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△t>0 时，1+△t 在1之后； 当△t<0 时，1+△t 在1之前. 当△t>0 时，把运动员在时间段[1,1+△t]内近似看成做匀 速直线运动，计算时间段[1,1+△t]内的平均速度v, 求运动员在t=1s 时刻的瞬时速度 当△t<0时，在时间段[1+△t,1]内 当△t>0时，在时间段[1,1+△t]内 △t =-4.9△t-5 △t =-4.9△t-5 -0.01 -4.951 0.01 -5.049 作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 用平均速度v 近似表示运动员在t=1 时的瞬时速度.当△t<0 时，在时间段[1+△t,1]内可 -0.01 -4.951 0.01 -5.049 -0.001 -4.9951 0.001 -5.0049 -0.0001 -4.99951 0.0001 -5.00049 -0.00001 -4.999951 0.00001 -5.000049 -0.000001 -4.9999951 0.000001 -5.0000049 思考 给出△t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v的值.当△t 无限趋近于0 时，平均速度v有什么变化趋势? 当△t无限趋近于0,即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于 1时，平均速度v 都无限趋近于-5. 结论 从物理的角度看，当时间间隔|△t|无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于t=1 时的瞬时速度. 因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=-5 m/s. 事实上，由 以发现，当△t 无限趋近于0时，-4.9△t 也无限趋近于0,所以v 无限趋近于-5,这与前面得到的结论一致.数学中，我们把 -5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”,记为 思考 (1)求运动员在t=2s 时的瞬时速度 (2)如何求运动员从起跳到入水工程中的某一时刻to的瞬时速度? 运动员在t=2s 的瞬时速度为-14.8m/s. (1)运动员在[2,2+△t]和[2+△t,2]时间段的平均速度 结论 \运动员在某一时刻to的瞬时速度为4.8-9.8t。m/s (2)∵ 如图，当点P(x,x²)沿着抛物线f(x)=x² 趋近于点P₀ (1,1)时，割线P₀P有 什 么变化趋势? 当点P 无限趋近于点P₀时，割线PP 无限趋近 于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为 抛物线f(x)=x²在点P(1,1)处的切线. 三.割线与切线的斜率 1.切线的定义 抛物线f(x)=x² 在点P(1,1)处的切线PT 的斜率与割线PP 的斜率有内在联系.记 △x=x-1, 则 点P的坐标是(1+△x,(1+△x)²). 2.割线与切线的斜率 (1)切线的斜率 于是，割线PP 的斜率 △x<0 △x>0 △x k=△x+2 △x k=△x+2 -0.01 1.99 0.01 2.01 -0.001 1.999 0.001 2.001 -0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 -0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 -0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 (2)切线的斜率 我们可以用割线PP 的斜率k 近似地表示切线PT 的斜率k₀,并且可以通过不断 缩短横坐标间隔|△x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格. 当△x无限趋近于0时，即无论x 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋 近于1时，割线PP 的斜率k都无限趋近于2. 事实上，由 以直接看出，当△x无限趋近于0时，Ax+2 无限趋近于2.我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”,记 为 从几何图形上看，当横坐标间隔|△x|无限变小时，点P 无限趋近于点P, 于 是 割线PP 无限趋近于点P 处的切线PT. 这时，割线PP 的斜率k 无限趋近于点P。处的 切线PT 的斜率k. 因此，切线PT 的斜率k₀=2. 的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢? 平均速度 的几何意义是曲线过两点(1,h(1) 与(1+△t,h(1+△t))的割线的斜率. 瞬时速度v(1)的几何意义是曲线在点(1,h(1))处的切线斜率. 观察问题1 的函数h()=-4.9t +4.8+ 的图象(如图),平均速度 A.[1,2] B.[2,3] c.[3,4] D.[4,7] 1.函数y=f(x) 的图象如图，则函数y=f(x) 在下列区间上平均变化率最大的是 课堂巩固 ( O 最大，所以函数y=f(x) 解析：由题图可知，在区间[3,4]上，函数的图象最陡，即 在区间[3,4]上的平均变化率最大.故选C. 2.函数f(x)=x² 在区间[0,2]上的平均变化率等于当x=m 时的瞬时变化率，则 m=(B) A. B.1 C.2 解析：函数f(x)=x² 在区间[0,2]上的平均变化率为 .当d→0 时， , 即f(x)=x² 在x=m 时的瞬时变化率为2m.所 以2=2m, 解 得m=1.故选B. 口 3.已知函数f(x)=2x²-x+1, 则f(x) 从1到1+△x的平均变化率为( B) A.2 B.2△x+3 C.2(△x)²+3△x D.2(△x)²-△x+1 解析：函数f(x)=2x²-x+1 从1到1+△x的平均变化率为 4.某物体的运动方程为s(t)=4²+2 (位移单位：m,时间单位：s), 若 ,则下列说法中正确的是( C) A.24m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B.24m/s是物体从3s到(3+△t)s这段时间内的速度 C.24m/s 是物体在3s 这一时刻的瞬时速度 D.24m/s是物体从3s到(3+△t)s这段时间内的平均速度 可知，24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度. 解析： 由 5.某直线运动的物体从时刻t到t+△t的位移为△s, 那 么 为 ( A.从时刻t 到t+ △t 物体的平均速度 B. 从时刻t 到t+ △t 位移的平均变化率 C.当时刻为△t时该物体的速度 D. 该物体在t 时刻的瞬时速度 解 析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t+ △t 时，时间的变化量为△t, 而 为该物体在t时刻的瞬时速度.故选：D. 物体的位移为△s, 那 么 解 析：由过曲线y=2* 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率k 即为两点连线的直线的斜 6.过曲线y=2 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为 .故答案为1. 率，则 7.函数y=2x²-4 在区间[1,1+△x]上的平均变化率为 4+2△x 解析： $$