精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024级高一上期10月考试 数学试题 满分 150分 考试时间 120分钟 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，满分150分，检测时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 设，，，则大小顺序是（ ） A B. C. D. 8. 设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 10. 已知实数x，y满足，，则（    ） A B. C. D. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为.类似的，对于集合，我们把集合叫做集合A与B的差集，记作.例如，，则有.下列说法正确的是 A. 若或，则 B. 若，则 C. 若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则. D. 若，则2一定是集合的元素 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 设集合，若，则___________. 13 已知全集，集合，则___________． 14. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. 求：（1）； （2）； （3）. 16. 已知集合， （1）命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； （2）已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 记全集，集合，或． （1）若，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 18. （1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C子集有64个，，试确定集合C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一上期10月考试 数学试题 满分 150分 考试时间 120分钟 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，满分150分，检测时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集的定义求解. 【详解】集合，，则. 故选：C 2. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图即可求解. 【详解】因为，，所以． 故选：A． 3. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 4. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】甲：，乙：,根据不等式性质，知道甲可以推出乙，但是乙推不出甲. 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 6. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断. 【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误； 对于B选项，若，则.故B选项错误； 对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确； 对于D选项，因为，所以，所以， 所以，即.因为根据题意不知道的符号， 所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误. 故选：C. 7. 设，，，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法分别计算和即可求解. 【详解】， ， 而，，而， ，即，综上. 故选：B． 8. 设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号 所以的最小值是，则的最大值为. 故选A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 10. 已知实数x，y满足，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为.类似的，对于集合，我们把集合叫做集合A与B的差集，记作.例如，，则有.下列说法正确的是 A 若或，则 B. 若，则 C. 若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则. D. 若，则2一定是集合的元素 【答案】AC 【解析】 【分析】根据所给定义判断A、C正确；选项B、D可以通过举反例来证明错误. 【详解】对于A，根据差集的定义可得，故A正确； 对于B，若，，则，显然，故B错误； 对于C，根据差集的定义可判断C正确； 对于D，设，，则，，此时，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12 设集合，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系求解即可. 【详解】集合，若， 则. 故答案： 13. 已知全集，集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出再求出即可. 【详解】由题意知， 所以. 故答案：. 14. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. 求：（1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】 【分析】根据集合交集、并集、补集的定义求解即可 【详解】（1）由题, （2）或,则 （3）,则或 【点睛】本题考查集合的交集、并集、补集的运算,属于基础题 16. 已知集合， （1）命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； （2）已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据为真命题，可得，即可根据韦达定理求解， （2）将p是q的必要不充分条件转化为,即可根据，和分别求解. 【小问1详解】 由可得， 由于，都有，为真命题，故， 因此,故且，故， 【小问2详解】 由于p是q的必要不充分条件，则,且 因为, 当时，则，则不存在， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上： 17. 记全集，集合，或． （1）若，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算，即可求解； （2）由，列出不等式组，求解即可； （3）由，则，再分集合是否为空集，进行分类讨论求的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则或， 因此或或或. 【小问2详解】 若，则，解得， 故的取值范围为. 【小问3详解】 若，则， 当时，，解得， 当时，，或， 解得，或， 综上知，的取值范围为. 18. （1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 （2）1 （3），，，或． 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 （Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． 【小问2详解】 （Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． 【小问3详解】 （Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$