14.1.1　第1课时　探究直角三角形三边的关系.课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

14.1.1　第1课时　探究直角 三角形三边的关系 第14章　 勾股定理 - 14.1.1　第1课时　探究直角三角形三边的关系 探究与应用 课堂小结与检测 第14章　勾股定理 探究　直角三角形三边的关系 [操作发现] 我们知道直角三角形的两个锐角互余,那么直角三角形三边之间存在怎样的关系呢,下面请你观察: 活动:如图14-1-1,以等腰直角三角形ABC的 三边为边长向外作正方形,三个正方形分别 为P,Q,R. 图14-1-1 探究与应用 (1)设每个小正方形的面积为1,则正方形P的面积=　　　　,正方形Q的面积=　　　　,两者之和=　　　　,正方形R的面积=　　　　.  (2)正方形P,Q,R的面积之间有怎样的等量关系? 线段AC,BC,AB之间有怎样的数量关系? (3)你能用文字语言叙述等腰直角三角形三边的 关系吗? 图14-1-1 1 1 2 2 探究与应用 解:(2)正方形P的面积+正方形Q的面积=正方形R的面积, AC2+BC2=AB2. (3)在等腰直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 探究与应用 (1)勾股定理的使用前提是在直角三角形中; (2)勾股定理揭示的本质是直角三角形三边的关系. 识 关系 探究与应用 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则 (1)c=;(已知a,b,求c) (2)b=;(已知a,c,求b) (3)a=.(已知b,c,求a) 记 变形 探究与应用 [归纳猜想] 在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?下面请你继续观察: (1)观察图14-1-2,如果每一小方格表示 1平方厘米,那么可以得到: 正方形P的面积=　　　　平方厘米;  正方形Q的面积=　　　　平方厘米;  正方形R的面积=　　　　平方厘米.  图14-1-2 9 16 25 探究与应用 (2)我们发现,正方形P,Q,R的面积之间的关系是            　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (3)由此,我们猜想Rt△ABC的三边长度 之间存在的关系是　 .  图14-1-2 正方形P 的面积+正方形Q的面积=正方形R的面积 AC2+BC2=AB2 探究与应用 归 模型 如图14-1-3所示,S1,S2,S3具有相同的关系:S1=S2+S3. 图14-1-3 探究与应用 [概括新知] 勾股定理:(1)文字语言:直角三角形两直角边的平方和等于 　　　　　　.  (2)符号语言:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有　　　　　　.  斜边的平方 a2+b2=c2 探究与应用 (3)图形语言:如图14-1-4,三个正方形的边长分别等于直角三角形的三条边,那么它们的面积之间的关系是　　　　　.  图14-1-4 S1+S2=S3 探究与应用 应用一　利用勾股定理求直角三角形的边长 例1 (1)如图14-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,求c的值. 图14-1-5 解:在Rt△ABC中,因为∠C=90°,a=9,b=12, 由勾股定理,知a2+b2=c2, 所以c==15. 探究与应用 (2)如图14-1-6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=25,BC=20.求AB 的长. 解:在Rt△ABC中,因为∠B=90°,AC=25,BC=20, 由勾股定理,知AB2=AC2-BC2=252-202=225, 所以AB=15. 图14-1-6 探究与应用 已知直角三角形的两边求第三边或第三条边的平方时,如果题目中没有明确指明斜边和直角边,应分两种情况讨论,不要误认为∠C所对的边一定是斜边. 防 易错 探究与应用 例2 在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,求AB2的值. 解:当∠C=90°时,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+102=36+100=136. 当∠A=90°时,根据勾股定理,得AB2=BC2-AC2=102-62=64. 综上可知,AB2的值是136或64. 探究与应用 应用二　利用勾股定理求面积 例3 (1)如图14-1-7,A代表所在正方形的面积,则A的值是 　　　　.  图14-1-7 16 探究与应用 (2)如图14-1-8,正方形A,B,C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A,B的边长分别为4和7,则正方形C的面积为 　　　　.  图14-1-8 33 探究与应用 借助面积求直角三角形斜边上的高 如图14-1-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,求点C到AB的距离. 【延伸拓展】 图14-1-9 探究与应用 解:过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=102+242=262, 因为AB>0,所以AB=26. 因为S△ABC=AC·BC=AB·CD, 所以CD=, 即点C到AB的距离是. 探究与应用 学 方法 等面积法求直角三角形斜边上的高 已知直角三角形的两条直角边的长,求斜边上的高,先根据勾股定理求出斜边的长,再借助三角形的面积=×长直角边长×短直角边长=×斜边长×斜边上的高求解. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.下列说法中正确的是 (　　) A.若a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠B= 90°,则a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠C= 90°,则a2+b2=c2 课堂小结与检测 2.如图14-1-10所示的直角三角形中,未知线段的长度b= 　　　　,c=　　　　.  图14-1-10 12 30 课堂小结与检测 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. (1)已知a=40,c=41,求b; (2)已知a=5,b=12,求c.   解:(1)9　(2)13 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$