4.4.1对数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1对数函数的概念的课件 课标阐释 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象) 2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.(直观想象) 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).(数学抽象) 一：利用对数函数的性质比较大小 例1 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1). 分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小; (2)分别比较两个对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小. 解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32. (2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32. (3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,logaπ<loga3.141. 反思感悟 求复合函数的单调区间的步骤 1.求出函数的定义域; 2.将复合函数分解为基本初等函数; 3.分别确定各个基本初等函数的单调性; 4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间. 变式训练1比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3. 解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 故当a>1时,loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2. (3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24, (方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示, 由图可知log40.2>log30.2. (4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3, 所以log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. 二：求复合函数的单调区间 例2求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间. 分析:利用复合函数法确定其单调区间. 解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+1≥1>0. 当x≥1时,u=x2-2x+2是增函数, 又y=log0.2u是减函数, 所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)上是减函数. 同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-∞,1]上是增函数. 故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞). 变式训练2求函数y=loga(a-ax)的单调区间. 解:(1)当a>1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1. 所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数. (2)当0<a<1时,y=logat是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1. 所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数. 综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数;当0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数. 与对数函数有关的图象变换问题 答案:(-∞,-2) 三：利用对数函数的性质比较大小 例3比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3. 解 (1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 故当a>1时,loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2. (3)(方法1)因为0>log0.23>log0.24, (方法2)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2>log30.2. (4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. 反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法 (1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较. (2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合. (3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较. 变式训练3比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1). 解 (1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2, 所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32. (2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32. (3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,logaπ<loga3.141. 对数函数在实际问题中的应用 典例 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤多少次,才能使产品达到市场要求?(参考数据lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1) 方法点睛 建立对数函数模型解决实际问题 对数运算是求指数的运算,因此要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算工具计算解题. 变式训练某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,问从哪一年开始,该公司全年投入的研发资金超过200万元?(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) 知识与方法的小结由学生自主完成. 学生回顾本节课构建的知识和应用的方法,积累研究数学问题的方法与活动经验，学会学数学. 课堂小结 所学知识：对数函数 所用方法：类比、特殊到一般，具体到抽象推理论证 课后探究：对数函数性质、图象. $$