24.4.1弧长和扇形面积（精准课件、教学设计、导学案、作业设计）2024—2025学年人教版数学九年级上册 　

24.4.1弧长和扇形面积 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 弧长有关的计算 (1) 半径为R的圆，周长是多少？ (2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 (4)140°的圆心角所对的弧长是多少？ 弧长公式 算一算 已知弧所对的圆心角为30°，半径是8，则弧长为____. 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 巩固练习 1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为____ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为_______. 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( ) A. B. C. D. 与扇形面积有关的计算 (1) 半径为R的圆，面积是多少？ (2) (2)圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？ (3)1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的______倍,是圆面积的__________ （5）若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积是 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 典例精析 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 巩固练习 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_ . 2.已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____． 3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 则这个扇形的面积，S扇=____． 课堂小结 弧长的计算公式： 扇形的面积公式： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4.1弧长和扇形面积 学习目标： 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 创设情境 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 弧长有关的计算 (1)半径为R的圆，周长是多少？C=2πR (2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？360° (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 (4)140°的圆心角所对的弧长是多少？ 弧长公式 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 算一算 已知弧所对的圆心角为30°，半径是8，则弧长为____. 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 解：由弧长公式，可得的长 (mm) 因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm) 巩固练习 1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为____ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为_______.160° 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( B ) A. B. C. D. 扇形定义 什么是扇形 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. (记作：扇形OAB) 扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关.圆心角越大，扇形面积也就越大.怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？ 与扇形面积有关的计算 (1) 半径为R的圆，面积是多少？S=πR2 (2)圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？360° (3)1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的______倍,是圆面积的__________ n （5）若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积是S扇形= 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 典例精析 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 解：连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵ OC=0.6m，DC=0.3m ∴ OD=OC-DC=0.3(m)，∴ OD=DC 又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线 ∴ AC=AO=OC，从而 ∠AOD=60°，∠AOB=120° 有水部分的面积：S=S扇形OAB-S△OAB =×0.62-AB•OD =0.12π-×0.6×0.3 ≈0.22(m2) 巩固练习 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_ . 2.已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____． 2 3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 则这个扇形的面积，S扇=____． 课堂小结 弧长的计算公式： 扇形的面积公式： 作业布置 见精准作业 板书设计 24.4.1弧长和扇形面积 弧长的计算公式： 扇形的面积公式： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版.九年级上册 24.4.1弧长和扇形面积公式 学习目标 学习目标： 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （重点） 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情景引入 （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR （3）1°圆心角所对弧长是多少？ （4）140°圆心角所对的弧长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l，则 n° A B O 与弧长有关的计算 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为30°，半径是8，则弧长为____. 弧长公式 弧长公式 5 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm） 答：管道的展直长度为2970mm 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 典例精析 6 1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为____ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为_______. 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( ) A. B. C. D. 160° B 巩固练习 什 么 是 扇 形 ？ 扇 形 的 定 义 ： 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 8 扇形定义 （1）半径为R的圆,面积是__________ S=πR2 （3）圆心角为1°的扇形的面积是______ （4）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的______倍,是圆面积的__________ n （4）圆心角为n°的扇形的面积是______ 自学教材P111----P112，思考下列内容： A B O n° （2）圆的面积可以看作是______度的圆心角所对的扇形 360 与扇形有关的计算 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 扇形面积公式 10 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）. 0 弓形的面积 = S扇- S△OAB 提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的和或差求得 典例精析 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O. B A C D (3) 　　有水部分的面积： S＝S扇形OAB - SΔOAB 典例精析 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_ . 2.已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____． 2 3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 则这个扇形的面积，S扇=____． 典例精析 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 谢谢！ $$ 课前诊测 1. 1.若⊙O的直径为12cm，OD=8cm，则点D在⊙O____. 2.如图，点B在直线AC上，且OA⊥AC，则OA＜___＜___，点O到直线AC的距离即为线段___的长. 精准作业 必做题 1.（1）若一个扇形的圆心角为30°，半径为6cm，则它的弧长为 πcm. （2）若一个扇形的弧长为一π，圆心角为45°，则该扇形的半径为 （3）若一个扇形的弧长为πcm，半径为4cm，则它的圆心角的度数为 2.如图，在扇形AOB中，半径OA的长为2，点C在弧AB上，连接AC，BC，OC.若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 选做题 如图，在等边△ABC中，边长为6，以各顶点为圆心分别作⊙A，⊙B，⊙C，且半径都是2，求图中阴影部分的面积． 课前诊测 1. 1.若⊙O的直径为12cm，OD=8cm，则点D在⊙O____. 2.如图，点B在直线AC上，且OA⊥AC，则OA＜___＜___，点O到直线AC的距离即为线段___的长. 1.外 2.OB OC OA 精准作业 必做题 1.（1）若一个扇形的圆心角为30°，半径为6cm，则它的弧长为 πcm. （2）若一个扇形的弧长为一π，圆心角为45°，则该扇形的半径为 （3）若一个扇形的弧长为πcm，半径为4cm，则它的圆心角的度数为 （1）π （2）3 （4）120° 2.如图，在扇形AOB中，半径OA的长为2，点C在弧AB上，连接AC，BC，OC.若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 解：根据题意 ∵OA=OC=AC=BC=OB ∴∠BOC=60° ∴ 选做题 如图，在等边△ABC中，边长为6，以各顶点为圆心分别作⊙A，⊙B，⊙C，且半径都是2，求图中阴影部分的面积． 解：过点C作CD⊥BC于点D ∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC ∴BD=BC=9 ∴AD= ∴S△ABC＝D ∵三角形与三个圆形成的三个小扇形的圆心角的和等于三角形ABC的内角和 ∴三个小扇形面积之和 S1＝ ∴S阴影＝S△ABC－S1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$