第四节平面向量中的范围与最值问题讲义-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第四节　平面向量中的范围与最值问题 一、 命题规律及备考策略 平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。 基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 本讲内容难度较大，需要综合学习。 二、知识梳理 1. 模长的范围及最值 与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。 2. 夹角的范围及最值 类别 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。 三、课堂考点突破 考点一 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例1 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．3 B．3 C．1 D. 答案　A 解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，∴＝＋， 由M，P，N三点共线，得＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋ ≥＋2＝3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 故2x＋y的最小值为3. 考点二　与数量积有关的最值(范围)问题 例2已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[1,4] D．[1,7] 答案　B 解析　方法一　如图，建立平面直角坐标系， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， ∴B(，0)，C， ∴＝(－cos θ，－sin θ)，＝， ∴·＝(－cos θ)－sin θ＝－cos θ－sin θ ＝－3sin， ∵θ∈[0,2π]，∴sin∈[－1,1]， ∴·∈. 方法二　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，C， 设P(x，y)， 则点P在以A为圆心，1为半径的圆上， 即点P的轨迹方程为2＋y2＝1， 而＝，＝， 故·＝x2－x＋y2－y＝2＋2－， 综上，只需求出定点与圆2＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可， 而圆心A与定点的距离d＝＝， 故定点与圆上点的距离的范围为， ∴·∈. 考点三　与模有关的最值(范围)问题 例3 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 答案　A 解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的 变式训练 2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________． 答案　 解析　方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)， 则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)， ∵(c－a)⊥(c－b)， ∴x(x－1)＋y(y－1)＝0， 得2＋2＝， 则点(x，y)在以点P为圆心，为半径的圆上，|c|＝≤OP＋＝. 方法二　如图，作＝a，＝b，＝c， 则＝c－a，＝c－b， 则AC⊥BC，又OA⊥OB， 则四边形OBCA四点共圆， 则(OC)max为圆直径AB， 又AB＝＝， ∴|c|max＝(OC)max＝. (2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，＝sin2θ·＋cos2θ·(其中θ∈R)，则(　　) A.·的取值范围是(0,4) B．点P经过△ABC的外心 C．点P所在轨迹的长度为2 D.·(＋)的取值范围是 答案　ABD 解析　由·＝2，又斜边AB＝2，则||∈(0,2)，则·∈(0,4)，A正确； 若O为AB中点，则＝，故＝sin2θ·＋cos2θ·，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，所以B正确，C错误； 又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||， 又||＋||＝||＝1， 则||||≤2＝， 当且仅当||＝||＝时，等号成立， 所以·(＋)＝－2||||∈，D正确． 四、课后作业 1．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)， 设M(x,0)，－6≤x≤6， 则＝(3－x,4)，＝(6－x,0)， 所以·＝(3－x,4)·(6－x,0)＝x2－9x＋18， 因此，当x＝时，·取得最小值－. 2．已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　) A. B．3 C．4 D．3 答案　B 解析　因为C为AB的中点， 所以＋＝2， 从而|＋|＝|2|＝2||， 可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝＝， 所以|＋|min＝2×＝3. 3．(2023·上饶模拟)如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则·的最小值是(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　由题意可得， ·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1， 为使·最小，只需||最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点， 又EF＝1，因此||min＝＝， 所以·的最小值为－. 4．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知a，b是单位向量， 由|xa＋b|≥， 得(xa＋b)2≥，则x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0， 解得－≤a·b≤， 而cos〈a，b〉＝＝a·b， 则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以≤〈a，b〉≤， 所以向量a，b的夹角的取值范围为. 二、多项选择题 5.正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，＝λ＋μ，则(　　) A．μ最大值为1 B．λ最大值为2 C.·最大值是8 D.·最大值是8＋4 答案　ACD 解析　如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，π]， 又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，D(－2,4)，C(2,4)， 则＝(2cos θ＋2,2sin θ)，＝(0,4)，＝(4,2)， ∵＝λ＋μ， 即(2cos θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2) ∴解得 ∵θ∈[0，π]，则－1≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1， ∴μ＝∈[0,1]， λ＝＝， 其中sin φ＝，cos φ＝，φ为锐角， 当sin(θ－φ)＝1，即θ＝＋φ时， λ取最大值，故A正确，B错误； ·＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(0,4)＝8sin θ∈[0,8]，故C正确； ·＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(4,2)＝4sin θ＋8cos θ＋8＝4sin(θ＋α)＋8， 其中sin α＝，cos α＝，α为锐角， 当sin(θ＋α)＝1，即θ＝－α时，·取最大值8＋4，故D正确． 三、填空题 6．已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________． 答案　3 解析　|a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|＝1＋2＝3，当a－b与b方向相同时，等号成立． 7．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 答案　 解析　∵λ，μ为正实数，＝， 故＝4，∴＝λ＋4μ， 又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， ∴λμ＝·λ·4μ≤2＝， 当且仅当λ＝，μ＝时取等号， 故λμ的最大值为. 8．已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________． 答案　2 解析　∵a·b＝|a|＝|b|＝2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos θ＝2， ∴cos θ＝， 又θ∈[0，π]，则θ＝， 不妨设a＝(2,0)，b＝(1，)， 再设e＝(cos α，sin α)， 则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|＝|(3，)·(cos α，sin α)| ＝|3cos α＋sin α|＝≤2， 即|a·e＋b·e|≤2， ∴|a·e＋b·e|的最大值为2. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第四节　平面向量中的范围与最值问题 一、 命题规律及备考策略 平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。 基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 本讲内容难度较大，需要综合学习。 二、知识梳理 1. 模长的范围及最值 与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。 2. 夹角的范围及最值 类别 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。 三、课堂考点突破 考点一 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例1 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．3 B．3 C．1 D. 考点二　与数量积有关的最值(范围)问题 例2已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[1,4] D．[1,7] 考点三　与模有关的最值(范围)问题 例3 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 变式训练 2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________． (2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，＝sin2θ·＋cos2θ·(其中θ∈R)，则(　　) A.·的取值范围是(0,4) B．点P经过△ABC的外心 C．点P所在轨迹的长度为2 D.·(＋)的取值范围是 四、课后作业 1．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 2．已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　) A. B．3 C．4 D．3 3．如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则·的最小值是(　　) A. B．－ C．－ D．－ 4．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 5.正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，＝λ＋μ，则(　　) A．μ最大值为1 B．λ最大值为2 C.·最大值是8 D.·最大值是8＋4 三、填空题 6．已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________． 7．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 8．已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$