第三章：圆锥曲线的方程章末重点题型复习（19大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线的方程章末综合复习 题型一 对圆锥曲线定义的理解 【例1】（24-25高二上·河南·月考）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设可知，椭圆C的焦点为， 椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为， 故， 所以椭圆C的标准方程为.故选：C 【变式1-1】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【解析】由题设知， 则动点P的轨迹不存在．故选：D 【变式1-2】（22-23高二上·贵州六盘水·月考）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（    ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【解析】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支.故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·北京·月考）下列说法正确的个数是） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 则动点满足到直线的距离和到的距离相等， 所以则P的轨迹是抛物线，③正确. ④，动点满足， 则或，所以P的轨迹是圆和一条直线，④正确. 所以正确的有个.故选：C 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 【例2】（24-25高二上·重庆·月考）已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为 . 【答案】0 【解析】因为， 所以动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以， 所以满足的动点P的轨迹方程为. 设，由，得， 整理得，即， 所以满足的动点P的轨迹在以为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过点. 如图，动点P的两种轨迹没有交点，则动点P的轨迹不存在，因此点P的轨迹长度为0. 故答案为：0. 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·月考）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是.故选：B 【变式2-3】（22-23高二上·河南郑州·期中）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 【答案】抛物线 【解析】由，得， 所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离， 即点到点的距离与到直线的距离相等， 又因为点不在直线上， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线. 故答案为：抛物线. 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部； 设为椭圆的上焦点，连接， 由椭圆定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示： 因此则的最小值为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为，故选：D． 【变式3-2】（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5.故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知点，直线，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设动圆的圆心为 依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离 则，两边平方化简得 即点的轨迹为抛物线，方程为 由抛物线的定义可知 点到直线的距离为 （当且仅当共线时取等号） 即的最小值为 故答案为： 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 【例4】（24-25高二上·江西新余·月考）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【解析】∵，， ∴，∴， 又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·月考）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确．故选：ACD． 【变式4-2】（23-24高二下·安徽安庆·月考）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以，所以的方程为.故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则.故选：A 题型五 对圆锥曲线标准方程的理解 【例5】（24-25高二上·陕西西安·月考）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是， 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·重庆·月考）（多选）关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示两条直线，则，或， B．若曲线表示圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示椭圆，则 【答案】ABCD 【解析】对于A，若曲线表示两条直线，则两者须有一个为零， 此时表示的两条直线为或，可得A正确； 对于B，若曲线表示圆，则根据圆的方程可知，即B正确； 对于C，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，可将化为， 所以，可得，即C正确； 对于D，若曲线表示椭圆，则根据椭圆方程可知，且，即D正确.故选：ABCD 【变式5-2】（23-24高二上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，异号，故曲线是双曲线，故A正确； 对于B，若，则曲线是圆，故B错误； 对于C，若，则曲线不存在，故C错误； 对于D，若，满足，但曲线不存在，故D错误.故选：BCD. 【变式5-3】（23-24高二上·河北·月考）（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD. 题型六 求圆锥曲线的标准方程 【例6】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为， 设抛抛物线的标准方程为， 所以，得， 故所求抛物线的标准方程为.故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是椭圆上一点，且， 所以，解得，所以椭圆方程为， 又点是椭圆上一点，所以，解得， 所以椭圆的方程为.故选：B. 【变式6-2】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为.故选：A 【变式6-3】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1；(2)；(3)． 【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 【例7】（24-25高二上·新疆喀什·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得.故选：D 【变式7-1】（24-25高二上·河北沧州·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为.故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为，故选：B. 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 【例8】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的定义可得， 又，所以， 在椭圆中，，所以，即， 又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是.故选：B 【变式8-1】（23-24高二下·湖南张家界·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上， 而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 【变式8-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则，解得， 由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得.故选：C. 【变式8-3】（23-24高二下·河南·月考）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 题型九 双曲线的渐近线问题 【例9】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图．设，，则， ，在中由勾股定理： ，解得：， 在中，由勾股定理：，解得：，所以， 所以渐近线方程为：.故选：A． 【变式9-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为．故选：B 【变式9-2】（22-23高二上·湖北武汉·月考）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【解析】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 【答案】或 【解析】若分别在轴两侧（如图）， 到的距离. 由，得. 设的倾斜角为，则，且, 在中，，所以， 所以，,所以. 若均在轴左侧（如图），    在中，，, 所以， 所以，, 所以， 故答案为：或 题型十 直线与圆锥曲线的位置关系 【例10】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】直线恒过定点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则在椭圆内部或在椭圆上， 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则； 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则． 实数的取值范围是：． 故答案为：． 【变式10-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以.故选:：D 【变式10-2】（23-24高二上·湖北·月考）已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立得：， 由解得，或. 所以，，则. 直线与双曲线的右支交于两点， 则且，则且，解得， 故.故选：D. 【变式10-3】（22-23高二上·四川成都·月考）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设点，则，即， 整理可得：，； 记，， 当时，与有且仅有一个交点，与无交点，与有且仅有一个交点，不合题意； 当时：， 由得：； 由得：，即，则； ①当，即或时，与有一个交点， 与有且仅有一个交点，，解得：或； ②当，即时，与无交点， 与有两个不同交点，，解得：，； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 题型十一 圆锥曲线的弦长及应用 【例11】（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】令，得，解得， 所以直线被椭圆截得的弦长为.故选：C. 【变式11-1】（23-24高二上·福建三明·期中）（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】如图所示，BCD三项的直线均和对称 而椭圆关于原点对称，故弦长都相同故选：BCD 【变式11-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得， 则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 【变式11-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）由抛物线，可得焦点为， 由抛物线的定义可得， 而，所以，解得或. 当时，;当时，. 所以点的坐标为或. （2）设，联立方程，得， 所以，即, 且 由题知，， 整理得， 即，解得或， 当时，； 当时，. 综上所述：弦长的值为或. 题型十二 圆锥曲线的中点弦问题 【例12】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】设点，，中点， 则，， 又点、为椭圆上的两个点， 则，两式做差可得， 即， 代入，，则，即， 又直线的方程为，即，所以， 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确.故选：C. 【变式12-2】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 【变式12-3】（23-24高三下·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 题型十三 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 【例13】（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）和为椭圆上的两点， 所以，解之得，，又因为，所以. 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）解：联立方程，消去得， 因为， 所以设交点，，则，， 所以. 又因为点到直线的距离为， 所以三角形AOB面积 令， 则 （当且仅当即时，等号成立）， 也就是当时，三角形AOB面积取最大值 又因为当时，， 所以三角形AOB面积的取值范围是. 【变式13-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2）依题意，直线的方程为，即， 联立，消去，得， 易知，设，则， 所以， 而到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式13-2】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【答案】(1)；(2)6 【解析】（1）设，动圆的半径， 整理可得．故曲线的方程为. （2）法一： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 由已知直线斜率必不为0，故可设直线， 联立方程，可得， 故，解得，故， ． 法二： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去； 设直线， 联立方程可得， ，解得，， ，解得． 原点到直线的距离， 故的面积. 【变式13-3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， , 因为，所以， 故双曲线的方程为 （2）当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线 ， 故由， 从而，化简得 又因为双曲线的渐近线方程为，故由， 从而点.同理可得，， 故MN中点横坐标为， 所以为的中点， 故四边形MONQ为矩形 设四边形MONQ面积为，则 题型十四 圆锥曲线中的定值问题 【例14】（23-24高二上·安徽·月考）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设动点P的坐标为, 因为动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 所以， 化简，得，即曲线C的方程为． （2）当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时， 中有一条直线与曲线C不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的k即得． 因此， 即是定值． 【变式14-1】（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，所以． 因为，所以，所以C的标准方程为． 直线，由消去y化简并整理得， 解得或（舍），所以． 又直线过点，所以直线的方程为，所以． （2）设，则． 因为，所以． 设直线，由消去x化简并整理得． 设，则， 故 ． 所以为定值． 【变式14-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离， 故可知动点的轨迹是抛物线， 设其方程为，由题意得， 故动点的轨迹方程为：． （2）如图，因直线的斜率不能为0（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点， 可设，由消去并整理得： 显然，设，则由韦达定理， 则 将代入得：， 故 【变式14-3】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)①；②证明见解析 【解析】（1）因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 题型十五 圆锥曲线中的定点问题 【例15】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题设，因为点在椭圆上，所以， 即， 所以，， 所以椭圆C的方程为：． （2）证明：设点的坐标为， 当直线的斜率都存在时， 令为，代入， 整理得：，且， 所以，则， 故． 由，即， 故为，代入， 所以，有， 则，故． 当时， 所以，则为， 整理得，所以过定点． 当时，，，过点， 当时，，，过点， 当一条直线斜率不存在时，对应，，故即为x轴，也过点； 综上，直线过定点． 【变式15-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设点，由题意得：，化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， 所以直线过定点 【变式15-2】（23-24高二上·安徽宣城·月考）已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切． (1)求动圆圆心P的轨迹T的方程； (2)已知过的直线与曲线T交于A，B两点，点，直线，分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知圆的圆心，半径； 设，易知点在直线右侧， 所以到直线的距离为，又， 由相切可得，即， 化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为； （2）设，，直线，设，， 与抛物线联立，得，因此，． 设直线，与抛物线联立，得， 因此，，则．同理可得． 设直线CD：，与抛物线联立，得， 因此， 由，得，， 所以，即 所以直线的方程为，即直线CD过定点． 【变式15-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为， (1)求点的轨迹方程 (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)是过定点，和 【解析】（1）设，则且 所以 整理可得， 即点的轨迹方程 （2）如下图所示： 设直线方程为，，， 联立可得可得， 所以，； 直线的方程为，可得，即； 直线的方程为，可得，即； 所以 假设过定点，则， 即， 即可得，解得， 所以定点为和． 题型十六 圆锥曲线中的定直线问题 【例16】（23-24高二下·安徽滁州·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设的半焦距为，则. 因为， 所以，解得， 因为，所以，即，解得， 则， 所以的方程为. （2）由（1）知，点，设直线的方程为. 由，可得， 则. 设，则. 由题可设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程，可得 ， 解得，即直线的交点恒在直线上. 【变式16-1】（23-24高二下·重庆·月考）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）依题意，点，，解得，椭圆：， 显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为， 由消去并整理得， ， 整理得，解得，切线方程为，由，得， 所以点的坐标是. （2）设直线的方程为，，线段的中点， 由消去得， 则，，， 直线的方程为，则点， 于是， ， ， 因此点在直线上， 所以线段的中点在定直线上. 【变式16-2】（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【变式16-3】（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)；(2)8；(3)证明见解析， 【解析】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时， 因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 题型十七 圆锥曲线中的最值范围问题 【例17】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求的方程； (2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆的长轴长与短轴长之和为6，则，即①， 又因为，结合可得②， 联立①②解得，所以的方程为. （2）设，则， 因为存在实数使得，即， 可得， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为. 【变式17-1】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）设，则， 由于，故， 故， 由于故，因此， 故 【变式17-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【变式17-3】（23-24高二下·广东汕头·期中）设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，点的坐标为， 又，，所以点的横坐标为， 由拋物线的定义得，所以， 所以拋物线的方程为. （2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， 联立，消去，得，易知， 设，则，故， 因为的准线为，因为直线平行于轴， 所以点的坐标为，则直线的斜率为， 所以直线的斜率为，其方程为， 因为点的纵坐标为， 所以点的横坐标为， 所以 ， 因为，则，所以， 即的取值范围是. 题型十八 圆锥曲线中的向量问题 【例18】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 【答案】(1)12；(2)20 【解析】（1）设焦距为，则，解得． （2） 要使点的横坐标最大，需直线斜率存在． 设，与椭圆联立得， 由韦达定理：． 由知，故， 要使点的横坐标最大，在这里不妨取， 所以，当且仅当时，等号成立． 当时，，即，此时． 【变式18-1】（23-24高二上·四川德阳·期末）椭圆：的离心率，短轴的两个端点分别为、（位于上方），焦点为、，四边形的内切圆半径为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于M、N两点（M位于P与N之间），记、的面积分别为、，令，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）当的斜率不存在时，与重合，与重合，不符合题意； 当的斜率存在时，其方程为， 设，， 由得：， 所以，解得， 则， 由于，， 则，， 所以，，由知， 从而，亦即， 将代入，得， 代入，得， 所以， 又，所以，则， 即，解得， 从而的取值范围为. 【变式18-2】（23-24高三下·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 【变式18-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8. (1)求点A的轨迹方程； (2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设，由题意，化简可得. 所以点A的轨迹方程为. （2） 由题设易知直线的斜率存在，设过定点的直线方程为， 将其与联立有： ，消去y得：， 因交于、两点，则， 解得：. 设，则由韦达定理有：． 又，则， 同理， 又因为，所以. 又 ， 所以， 即，解得，此时，， 则直线的方程为：或. 题型十九 圆锥曲线中的探究性问题 【例19】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）根据题意得，，解得， 椭圆的标准方程为． （2）设直线方程为，联立， 得， 应满足．① 设，由韦达定理可得． 由，得， 即． 整理得，． ， 整理得，． 直线不过点，故． 直线，． 假设存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，设的中点， 则，， 即，由，得，得， 把和代入①式，不成立． 所以不存在直线使得是以为顶点的等腰三角形． 【变式19-1】（24-25高二上·河南新乡·月考）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或；(2)存在， 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，原点O到直线的距离为3，不符合题意； 当直线的斜率存在时，可设直线：， 由原点O到直线的距离为1可得：，解得， ∴直线的方程为或. （2）设直线：，， 如图可记，， 联立方程，得   ∴，， ∴，， ∴ ∵，都是锐角   ∴的定值． 即存在锐角，满足，． 【变式19-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）M为抛物线上一点，且， 则有，解得，故， 又的面积为，得，所以， 则E的方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，l与E交于A，B两点，线段AB的中点的纵坐标为0， 的重心不在直线上，因此直线l的斜率都存在． 设 ， ， ，由 （1） 知 ， 由 消去x后整理得 ，则， 有 因为 的重心在直线 上，所以 ，则 ，所以 ， 由 ，有 ，则 ，即 ，所以 ， ，，满足，且直线l不过点F， 因此直线l的方程为 【变式19-3】（23-24高三上·广东·期末）已知双曲线：（，）的左焦点到其渐近线的距离为，点在上. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，（不与点重合）两点，记直线，，的斜率分别为，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；直线为 【解析】（1）由双曲线：可得，渐近线方程为：， 则有，化简得，又在上， 即，即，故：； （2）由题意可知直线的斜率存在且斜率为， 设直线为，、， 联立直线与双曲线，消去可得， 则有且， 即且， 有，， 由，故、， 则 ， 即有，即， 故或， 当时，直线为，过点，故舍去， 当时，直线为， 由、，则线段中点为， ，， 即，由，，， 故有，即，解得， 故，则直线为， 即存在，使得，此时直线的方程为. . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线的方程章末综合复习 题型一 对圆锥曲线定义的理解 【例1】（24-25高二上·河南·月考）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·江西抚州·月考）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【变式1-2】（22-23高二上·贵州六盘水·月考）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（    ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【变式1-3】（24-25高二上·北京·月考）下列说法正确的个数是） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题 【例2】（24-25高二上·重庆·月考）已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为 . 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·月考）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23高二上·河南郑州·期中）若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 题型三 圆锥曲线中距离和差的最值 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【变式3-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知点，直线，动圆过点且与直线相切，其圆心的轨迹为曲线，上的动点到轴的距离为到直线的距离为，则的最小值为 . 题型四 圆锥曲线中的焦点三角形问题 【例4】（24-25高二上·江西新余·月考）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·月考）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【变式4-2】（23-24高二下·安徽安庆·月考）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 对圆锥曲线标准方程的理解 【例5】（24-25高二上·陕西西安·月考）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【变式5-1】（24-25高二上·重庆·月考）（多选）关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示两条直线，则，或， B．若曲线表示圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示椭圆，则 【变式5-2】（23-24高二上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【变式5-3】（23-24高二上·河北·月考）（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 题型六 求圆锥曲线的标准方程 【例6】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 题型七 求椭圆与双曲线离心率的值 【例7】（24-25高二上·新疆喀什·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·河北沧州·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【变式7-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 题型八 求椭圆与双曲线离心率的取值范围 【例8】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·湖南张家界·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【变式8-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二下·河南·月考）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 题型九 双曲线的渐近线问题 【例9】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（22-23高二上·湖北武汉·月考）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【变式9-3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 题型十 直线与圆锥曲线的位置关系 【例10】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ． 【变式10-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·湖北·月考）已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（22-23高二上·四川成都·月考）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是 ． 题型十一 圆锥曲线的弦长及应用 【例11】（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式11-1】（23-24高二上·福建三明·期中）（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【变式11-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 题型十二 圆锥曲线的中点弦问题 【例12】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 【变式12-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【变式12-3】（23-24高三下·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 题型十三 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 【例13】（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【变式13-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【变式13-2】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【变式13-3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 题型十四 圆锥曲线中的定值问题 【例14】（23-24高二上·安徽·月考）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值． 【变式14-1】（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 【变式14-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 【变式14-3】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 题型十五 圆锥曲线中的定点问题 【例15】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点． 【变式15-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【变式15-2】（23-24高二上·安徽宣城·月考）已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切． (1)求动圆圆心P的轨迹T的方程； (2)已知过的直线与曲线T交于A，B两点，点，直线，分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线过定点. 【变式15-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为， (1)求点的轨迹方程 (2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 题型十六 圆锥曲线中的定直线问题 【例16】（23-24高二下·安徽滁州·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上. 【变式16-1】（23-24高二下·重庆·月考）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【变式16-2】（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【变式16-3】（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 题型十七 圆锥曲线中的最值范围问题 【例17】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求的方程； (2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围. 【变式17-1】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 【变式17-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式17-3】（23-24高二下·广东汕头·期中）设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 题型十八 圆锥曲线中的向量问题 【例18】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 【变式18-1】（23-24高二上·四川德阳·期末）椭圆：的离心率，短轴的两个端点分别为、（位于上方），焦点为、，四边形的内切圆半径为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于M、N两点（M位于P与N之间），记、的面积分别为、，令，，求的取值范围. 【变式18-2】（23-24高三下·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【变式18-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8. (1)求点A的轨迹方程； (2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程. 题型十九 圆锥曲线中的探究性问题 【例19】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【变式19-1】（24-25高二上·河南新乡·月考）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．    (1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程； (2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【变式19-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【变式19-3】（23-24高三上·广东·期末）已知双曲线：（，）的左焦点到其渐近线的距离为，点在上. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，（不与点重合）两点，记直线，，的斜率分别为，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直线的方程；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$