4.1 两个计数原理 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.1 两个计数原理 1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（重点） 2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据集体问题的特征，选择“分类”或者“分步”.（难点） 学 习 目 标 情境1：从甲地到乙地，可乘汽车或火车两种交通工具，如果一天内有4趟汽车开往乙地，有3列火车开往乙地，那么一天内从甲地到乙地有多少种不同的乘车选择？ 情境2：某书架共有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2种不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书.从该书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ 一、分类加法计数原理 合作交流 问题1：如何列出以下情境中的结果？ 新 课 讲 授 解：如图， 从甲地到乙地有汽车和火车两种交通工具， 乘汽车有4种选择， 乘火车有3种选择， 所以一共有4＋3 = 7 种不同的乘车选择． 情境1： 新 课 讲 授 解：从该书架上任取1本书，结果可能是数学书，语文书或英语书， 取到数学书时有3种不同的取法， 取到语文书时有2种不同的取法， 取到英语书时有2种不同的取法， 所以一共有3＋2＋2=7种不同的取法． 情境2： 新 课 讲 授 问题2：上述两种情境有什么样的共同点？我们是如何解决上述问题的？ 问题3：请总结一下我们解决上述问题的方法步骤. 合作交流 新 课 讲 授 根据上述情境我们知道： 如果完成一件事情有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法,....,在种不同的方法，每种方法都能独立地完成这件事，那么这件事共有： 种不同的方法. 分类加法计数原理，简称加法原理. 新 课 讲 授 新 课 讲 授 (1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看 12＋10＋46=68个不同的节目． 新 课 讲 授 (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道（共有(12＋10＋46－3)个）正在播放互不相同的节目． 所以，一台电视 机共可以选看 1＋(12＋10＋46－3) = 66个不同的节目． 问题4：据此，你能说说用分类加法计数原理解决实际问题时的步骤与注意事项吗？ 1.分类要标准明确； 2.分类要不重不漏。 新 课 讲 授 情境3：从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有4趟汽车从甲地开往丙地有3列火车从丙地开往乙地，那么一天内从甲地到乙地有多少种不同的乘车选择？ 情境4：某书架共有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2种不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书.从该书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 二、分步乘法计数原理 合作交流 问题1：如何列出以下情境中的结果？ 新 课 讲 授 解：假定从甲地到丙地的4趟汽车分别为a，b，c，d，从丙地到乙地的三 列火车分别为1，2，3，则从甲地到乙地的不同路径为： a1，a2，a3， b1，b2，b3， c1，c2，c3， d1，d2，d3． 共有4×3=12（种)不同的乘车选择． 情境3： 新 课 讲 授 情境4： 解：记：3本不同的数学书分别为M1，M2，M3，2本不同的语文书分别为 C1，C2，2本不同的英语书分别为E1，E2，则从书架的第一、二、三层各 取1本书的所有可能结果为： M1C1E1，M1C1E2，M1C2E1，M1C2E2， M2C1E1，M2C1E2，M2C2E1，M2C2E2， M3C1E1，M3C1E2，M3C2E1，M3C2E2． 共有3×2×2=12（种)不同的取法． 新 课 讲 授 问题6：上述两种情境有什么样的共同点？我们是如何解决上述问题的？ 问题7：请总结一下我们解决上述问题的方法步骤. 合作交流 新 课 讲 授 据上述情境我们知道： 如果完成一件事情需要分成n个步骤，第一步有种不同的方法，第二步中有种不同的方法,....,种不同的方法，每种方法都能独立地完成这件事，那么这件事共有： 种不同的方法. 分步乘法计数原理，简称乘法原理. 新 课 讲 授 分析：由于前七位已确定，我们只需分4步来确定后四位数字，11位手机号码就最终确定．所以，要用分步乘法计数原理来计算． 新 课 讲 授 解：后四位中的每一位都可以从0～9这10 个数字中任选一个，都有10种选法． 根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，那么这一号段共有10×10×10×10=10 000个不同的号码． 问题8：据此，你能说说用分步乘法计数原理解决实际问题时的步骤与注意事项吗？ 1.分步要步骤完整； 2.步与步之间要相互独立。 新 课 讲 授 一场晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持). (1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法? (2)如果需要教师、男同学、女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 如果需要一名教师和一名学生来共同主持晚会，共有多少种不同的选法？ 思考 新 课 讲 授 解：（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会， 结果可分为3类： 第一类，选一名教师主持，有3种选法； 第二类，选一名男同学主持，有4种选法； 第三类，选一名女同学主持，有5种选法． 根据分类加法计数原理，共有 3＋4＋5 = 12 种不同的选法． 一场晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持). (1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法? 一场晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持). （2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步： 第一步，选出一名教师，有3种选法； 第二步，选出一名男同学，有4种选法； 第三步，选出一名女同学，有5种选法． 以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有 3×4×5 = 60种不同的选法． (2)如果需要教师、男同学、女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A、B、C、D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ 练一练 解：依题意，知可要在4种不同类型的土地上试验种植 小麦分四步来完成， 第一步，种植第一块地，有4种选法； 第二步，种植第二块地，有3种选法； 第三步，种植第三块地，有2种选法； 第四步，种植第四块地，有1种选法． 根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2×1= 24种不同的选法． 计数原理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 不重不漏 步骤完整 课 堂 总 结 习题4.1 基础题： 第1题，第3题 提高题：第5题，第6题，第7题，第10题 课后作业 $$