24．7　弧长与扇形面积 第2课时　圆柱与圆锥的侧面积和全面积 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

扇形 πrl πrl＋πr2 1.92π 30π 24π 120° 12 cm 120° 2 65π A 第2课时　圆柱与圆锥的侧面积和全面积 要点感知 圆锥的侧面展开图是__扇形__，圆锥的侧面积就转化为扇形面积S侧＝S扇＝__πrl__，S全面积＝__πrl＋πr2__，圆锥侧面展开图的圆心角 n＝ __ ×360°__.(圆锥底面半径为r，母线长为l) eq \f(r,l)×360° 典例导学 如图，一个圆锥高为3eq \r(3) cm，侧面展开图是半圆． (1)求∠BAC的度数； (2)求圆锥的侧面积和全面积． 【思路分析】(1)设圆锥底面半径为r，圆锥的母线长为R.根据侧面展开图扇形的弧长l＝eq \f(nπR,180)和弧长也是底面圆的周长2πr，可以求出R与r之间的关系，从而可知∠BAC的度数． (2)从图中可知R，r和圆锥的高h之间满足r2＋h2＝R2，求出R和r，再求圆锥的侧面积和全面积． 【自主解答】 (1)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为R，则eq \f(180πR,180)＝2πr. ∴R＝2r，∴∠BAC＝60°. (2)∵r2＋(3eq \r(3))2＝R2，且R＝2r， ∴r＝3，R＝6. 圆锥的侧面积是eq \f(1,2)×6×2π×3＝18π. ∴圆锥的侧面积是18π，全面积是27π. 【名师支招】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线就是相应扇形的半径，圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长． 知识点1：圆柱的侧面积和全面积 1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为0.6 m，它的侧面积是1.92π m2. 2．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以AB为轴旋转一周得到圆柱，则它的表面积是__30π__． 知识点2：圆锥的侧面积和全面积 3．已知圆锥底面半径为3，高为4，则它的全面积为24π. 4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是120°. 5．一个圆锥的底面半径为5 cm，其侧面展开图的圆心角为150°，则该圆锥的母线长为12 cm. 【变式】已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为120°. 6．已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq \f(π,2)，用该扇形围成一个圆锥后， 圆锥的母线长是__2__，底面圆的半径是__ __，圆锥的全面积是__ π. 7．把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA＝13 cm，则扇形AOC的面积是__65π__cm2.(结果保留π) eq \f(1,4) eq \f(9,16)π 8．(黔东南州中考改编)如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20π cm，侧面积为240π cm2，求这个扇形的圆心角的度数． 解：设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°. ∵圆锥的底面圆周长为20π cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20π cm. 由题意得 eq \f(1,2)×20π×l＝240π，解得l＝24， 则eq \f(nπ×24,180)＝20π.解得n＝150. 即扇形的圆心角为150°. 9．如图，将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　　) A．2eq \r(2) B.eq \r(2) C.eq \r(10) D.eq \f(3,2) 10．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥(如图所示)．如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为 . eq \r(15) 11．如图是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB＝12 cm，高BC＝8 cm.求这个零件的表面积．(结果保留π) 解：这个零件的底面积为 π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2))) eq \s\up12(2)＝36π(cm2)， 这个零件的圆柱的侧面积为12π×8＝96π(cm2)， 圆锥母线长OC＝eq \r(82＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))\s\up12(2))＝10(cm)， 这个零件的内侧面积为eq \f(1,2)×12π×10＝60π(cm2)． ∴这个零件的表面积为 36π＋96π＋60π＝192π(cm2)． 12．如图，一个圆锥的高为3eq \r(3) cm，侧面展开图是半圆． (1)求圆锥的母线长与底面半径之比； (2)求∠BAC的度数； (3)求圆锥的侧面积．(结果保留π) 解：(1)∵2π·OC＝π·AC， ∴eq \f(AC,OC)＝2. (2)易知AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°. (3)∵△ABC为等边三角形，高AO＝3eq \r(3) cm， ∴AC＝6 cm， ∴圆锥的侧面积为eq \f(1,2)π·AC2＝18π(cm2)． 13．如图，有一圆锥形粮堆，BC是其底面直径，粮堆截面图△ABC是边长为6 m的等边三角形，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？(结果不取近似值) 解：设圆锥侧面展开图弧长为l，圆心角为n°， l＝2π×3＝eq \f(nπ×6,180)， ∴n＝180，圆锥侧面展开图是一个半圆，如答图所示， ∵∠BAP＝90°，AB＝6 m，AP＝3 m， ∴BP＝3eq \r(5)(m)． 答：小猫所经过的最短路程是3eq \r(5) m. $$