24.6.2　正多边形的性质 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

一 一 两 同心 轴 中心 C C C B C D 54° 2∶1 A C 24．6.2　正多边形的性质 要点感知 1．任何正多边形都有__一__个外接圆和__一__个内切圆，并且这__两__个圆是__同心__圆． 2．正多边形的每个中心角都等于__ __. 3．正n边形都是__轴__对称图形，当n为偶数时，它又是__中心__对称图形． eq \f(360°,n) 典例导学 如图，六边形ABCDEF为正六边形，连接AC，AE，CE得△ACE，求△ACE与六边形ABCDEF的面积之比． 【思路分析】设正六边形的半径为R，分别用含R的式子表示正六边形和正三角形的边长和边心距，求出其面积，从而得出它们的面积比． 【自主解答】 作出正六边形ABCDEF的中心O，连接OD交EC于点P，连接OE.设OE＝R，则ED＝R，作OM⊥DE于点M，则OM＝eq \f(\r(3),2)R，EM＝eq \f(R,2)， ∴SABCDEF＝eq \f(1,2)×R×eq \f(\r(3),2)R×6＝eq \f(3,2) eq \r(3)R2， ∴OP＝eq \f(R,2)，∴EP＝eq \f(\r(3),2)R，∴EC＝eq \r(3)R， ∴S△AEC＝3×eq \f(1,2)×eq \r(3)R×eq \f(R,2)＝eq \f(3,4) eq \r(3)R2， ∴△ACE与六边形ABCDEF的面积之比是eq \f(1,2). 【名师支招】正n边形的半径R，边心距r，边长a之间满足R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2))) eq \s\up12(2)，正六边形的面积＝eq \f(1,2)×周长×边心距． 知识点1：正多边形的对称性 1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 （ ） A．角 B.等边三角形 C．正十二边形 D．正五边形 2．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是 (　　) A．216° B．144° C．120° D．72° 知识点2：正多边形的性质与计算 3．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是 (　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 4．(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 5．(颍州区模拟)边长为2的正六边形的边心距为 （ ） A．1 B．2 C.eq \r(3) D．2eq \r(3) 6．(安徽中考)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD的值为 （ ） A．60° B．54° C．48° D．36° 7.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°. 8．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为 . eq \f(3,2) eq \r(3) 9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为__2∶1__． 10．(达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 (　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \r(2) D.eq \r(3) 11．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为 (　　) A．2eq \r(3) B．4 C.eq \r(13) D.eq \r(11) 12．(扬州中考)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3 cm，则螺帽边长a＝ cm. eq \r(3) 13．如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是正方形，则eq \f(A1B1,AB)＝ ． eq \f(\r(2),2) 14．如图所示是一个⊙O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切(我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)．设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值 . 解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形， ∴r∶a＝1∶1； 连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆心O半径为高的正三角形， ∴r∶b＝eq \r(3)∶2. 15．如图，等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5eq \r(2) cm，求⊙O的半径． 解：连接OB，OC，OD. ∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边， ∴∠BOC＝eq \f(1,3)×360°＝120°，∠BOD＝eq \f(1,12)×360°＝30°， ∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°， ∴OC＝CD·cos 45°＝5eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝5(cm)． 即⊙O的半径为5 cm. 16．如图，已知⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． (1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为__ ∶1__； (2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． eq \r(2)∶1 解：(2)BE是⊙O的内接正十二边形的一边． 连接OA，OB，OE. 在正方形ABCD中，∠AOB＝90°. 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°， ∴n＝eq \f(360°,30°)＝12. ∴BE是⊙O的内接正十二边形的一边． $$