24.6.1　正多边形与圆 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

相等 相等 内接正n边形 外切正n边形 C 正六边形 C C 21° D A 3 24.6.1　正多边形与圆 要点感知 1．各边__相等__、各角也__相等__的多边形叫做正多边形． 2．把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的 __内接正n边形__．经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的__外切正n边形__． 典例导学 如图，利用量角器和圆规画⊙O的内接正十边形． 【思路分析】根据正多边形与圆的关系，先用量角器作一个36°的角，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就可得到圆的十等分点，从而作出正十边形． 【自主解答】 如图所示．(1)作半径OA; (2)以O为顶点，OA为一边，作∠AOB＝36°，交⊙O于B； (3)以B 为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于C；以C为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于D；顺次画弧，得到分点E，F，G，H，I，J； (4)顺次连接各分点． 所得多边形ABCDEFGHIJ就是所求作的正十边形. 【名师支招】等分圆周作正多边形可用量角器，也可用尺规，对于特殊的正多边形(如正三角形、正方形、正六边形等)用尺规比较方便． 知识点1：正多边形的概念 1．下列图形中，是正八边形的是 （ ） 2．一个正多边形的每个外角都是60°，则这个正多边形是__正六边形__． 知识点2：正多边形与圆 3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为 （ ） A.eq \r(3) B.eq \r(6) C．3 D．2eq \r(3) 4．(潜山市模拟)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧 eq \o(AE,\s\up18(︵))　上．若∠CDF＝96°，则∠FCD的大小为 （ ） A．38° B.42° C．48° D．58° 5．小高用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB的度数近似于21°. 6．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是正五边形． 证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))＝eq \o(DE,\s\up18(︵))＝eq \o(EA,\s\up18(︵)). ∴eq \o(ABD,\s\up18(︵))＝eq \o(BCE,\s\up18(︵))＝eq \o(CDA,\s\up18(︵))＝eq \o(DEB,\s\up18(︵))＝eq \o(EAC,\s\up18(︵)). ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E. ∴五边形ABCDE是正五边形． 7．我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形．在我们目前所学知识的范围内，下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是 (　　) A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正七边形 8．(淮南月考)如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧 eq \o(BD,\s\up18(︵))所对的圆心角∠BOD的大小为 （ ） A．144° B．130° C．129° D．108° 9．(芜湖模拟)如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC＝eq \r(5). (1)⊙O的直径长为 ； (2)若P为 eq \o(AD,\s\up18(︵))　上一点且AP＝1，则PC＝3 . eq \r(10) 10．如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证： (1)AC∥DE； (2)ME＝AE. 证明：(1)由题意得 ∠EDC＝∠BCD＝∠ABC ＝eq \f(1,5)×180°×(5－2)＝108°， ∠BCA＝eq \f(180°－108°,2)＝36°， ∴∠DCA＝∠BCD－∠BCA＝108°－36°＝72°， ∴∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°， ∴AC∥DE. (2)同理可得∠DEB＝∠EAC＝72°， ∵AC∥DE，∴∠AME＝∠DEB＝72°， ∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE. 11．(金华中考)如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法如图②. Ⅰ.作直径AF. Ⅱ.以F为圆心，FO为半径作圆弧， 与⊙O交于点M，N. Ⅲ.连接AM，MN，NA. (1)求∠ABC的度数； (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝eq \f(（5－2）×180°,5)＝108°， 即∠ABC＝108°. (2)△AMN是正三角形， 理由：连接ON，NF，如图， 由题意可得FN＝ON＝OF， ∴△FON是等边三角形， ∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°， 同理可得∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴△AMN是正三角形． (3)连接OD，如图， ∵∠AMN＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵∠AOD＝eq \f(360°,5)×2＝144°， ∴∠NOD＝∠AOD－∠AON＝144°－120°＝24°， ∵360°÷24°＝15， ∴n的值是15. $$