24．3　圆周角 第2课时　圆内接四边形 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

同一个圆 外接圆 互补 内对角 140° D D D 110° 120° C A 90° α＋90°＝2β 第2课时　圆内接四边形 要点感知 1．一个多边形的所有顶点都在__同一个圆__上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的__外接圆__． 2．圆内接四边形的对角__互补__，且任何一个外角都等于它的__内对角． 典例导学 如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且 eq \o(BD,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵)). 求证：AD平分∠EAC. 【思路分析】由圆内接四边形的性质可得∠EAD＝∠DCB.又由同圆中等弧所对的圆周角相等，可得∠DCB＝∠DAC.从而证明AD平分∠EAC. 【自主解答】 ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB. 又∵eq \o(BD,\s\up18(︵))＝eq \o(DC,\s\up18(︵))，∴∠DAC＝∠DCB. ∴∠EAD＝∠DAC.∴AD平分∠EAC. 【名师支招】构造圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理可巧妙地将未知角与已知角相联系． 易错易混 【易错原因】对圆内接四边形的概念理解有误 如图，点A，C，B在⊙O上，∠ACB＝110°，则∠α＝____. 【自主解答】 知识点1：圆内接多边形的概念 1．下列说法中正确的是 (　　) A．圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆内的四边形 B．圆内接多边形的各个顶点在圆上或圆内 C．经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形的内接圆 D．圆内接五边形是指五个顶点都在这个圆上的五边形 知识点2：圆内接四边形的性质 2．四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C的度数为 (　　) A．110° B．120° C．135° D．140° 3．如图，A，B，C，D四点在⊙O上，四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD的度数为 (　　) A．35° B．70° C．110° D．140° 4．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，D是 eq \o(AC,\s\up18(︵))上任意一点，则∠D的度数为__110°__. 5．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为 4∶3∶5，则∠D的度数为__120°__. 6．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形． 证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ECB＝∠A.又∵BC＝BE， ∴∠E＝∠ECB， ∴∠E＝∠A，∴DA＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 7．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内 eq \o(OB,\s\up18(︵))　上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 (　　) A．6 B．5 C．3 D.eq \f(1,3) 8．(砀山县模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵)).若AB＝8，AD＝6，则BC的长为 （ ） A．5eq \r(2) B． 5 C.eq \f(5,2) D．10 9．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F. (1)∠ADC＝90°； (2)若C为eq \o(BD,\s\up18(︵))的中点，设∠E＝α，∠DBA＝β，用含α的式子表示β为α＋90°＝2β. 10．如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且AB＝AD，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，试求∠ABD的度数． 解：∵∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－30°－20°＝130°，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°－∠C＝50°， 又∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝eq \f(180°－50°,2)＝65°. 11．(合肥四十五中模拟)如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF. (1)求证：AB＝AC； (2)若AC＝5 cm，AD＝3 cm，求DE的长． (1)证明： ∵∠ABC＝∠2， ∠2＝∠1＝∠3， ∠4＝∠3， ∴∠ABC＝∠4， ∴AB＝AC. (2)解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE， ∴△ABD∽△AEB，∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AD,AB)， ∵AB＝AC＝5 cm，AD＝3 cm， ∴AE＝eq \f(AB2,AD)＝eq \f(25,3)cm，∴DE＝eq \f(25,3)－3＝eq \f(16,3)cm. 12．如图①，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图②，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC. (1)求证：圆中存在“爪形D”； (2)若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD. 证明：(1)∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB， ∴DB平分圆周角∠ADC， ∴圆中存在“爪形D”． (2)延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＝∠ECB， ∵CE＝AD，AB＝BC，∴△BAD≌△BCE(SAS)， ∴∠E＝∠ADB，∵∠ADC＝120°， ∴∠E＝∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD. $$