四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年八年级上学期数学期中预测题（2）

北师大版八年级上册期中预测题 数学试题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列四个实数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 3．下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（　　） A．9、16、25 B． C．0.3、0.4、0.5 D．6、6、6 4．在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　） A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2） 5．已知，则x﹣y＝（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．4m B．5m C．6m D．8m 7．已知点P（2a﹣10，2﹣a）到两坐标轴的距离相等，那么a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或4 D．﹣4或 8．估算值是在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 9．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．63 B．53 C．51 D．31 10．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（﹣4，0），C（8，8），D（﹣4，12），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为（　　） A．（2，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（2，0）或（8，0） 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．比较大小： 　 　．（填“＞”“＜”或“＝”） 12．已知直角三角形两直角边的长度分别为a，b，若a+b＝8，a2+b2＝48，则该三角形的面积是 　 　． 13．已知a，b满足，则（a+b）2是 　 　． 14．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则a的值为 　 　． 15．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　 　cm． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．计算： 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 18．已知点A（a+b，a﹣b），B（2b﹣1，3a+7）关于x轴对称，求a，b的值． 19．如图，一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明． 20．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2． （1）求a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根和立方根． 21．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．在平面直角坐标系中，直线1为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣1，2）的一次反射点为（1，2），二次反射点为（2，1）．根据定义，回答下列问题： （1）点（3，﹣4）的一次反射点为 　 　；二次反射点为 　 　； （2）若P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合，求m+n的值． 24．已知下列4个等式： 第1个等式：32＝2×2+5＝4+5； 第2个等式：52＝2×6+13＝12+13； 第3个等式：72＝2×12+25＝24+25； 第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 25．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．点D为边BC上一点，且BD＝AC，过点B作射线BP⊥BC，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，连接DE． （1）如图1，当BE＝CD时，线段AD与DE相等吗？请说明理由． （2）当线段DE与△ABD的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．DDCBC． 6-10．BCDAD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．比较大小： 　＝　．（填“＞”“＜”或“＝”） 【考点】分母有理化；实数大小比较．版权所有 【解答】解： ， 故答案为：＝． 【点评】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 12．已知直角三角形两直角边的长度分别为a，b，若a+b＝8，a2+b2＝48，则该三角形的面积是 　4　． 【考点】勾股定理．版权所有 【解答】解：∵直角三角形两直角边的长度分别为a，b，a+b＝8，a2+b2＝48， ∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝82﹣48， ∴2ab＝16， ∴， ∴三角形的面积是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 13．已知a，b满足，则（a+b）2是 　25　． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．版权所有 【解答】解：∵， ∴2a+b﹣4＝0，a+1＝0， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴（a+b）2＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则a的值为 　3　． 【考点】坐标与图形性质．版权所有 【解答】解：∵点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴， ∴﹣3＝3﹣2a， ∴a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟记坐标与图形性质是解题的关键． 15．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　　cm． 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【解答】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm， ∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm， ∴AE＝8cm， ∵OK＝24cm，OM＝2MK， ∴OM＝OM'＝16cm， 设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm， 在Rt△OAM中， 由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2， 即（x+8）2＝x2+162， 解得x＝12， ∴MA＝M'E＝OE＝12cm， 过点M'作M'H⊥OA， 设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm， 由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2， 即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2， 解得y， ∴M'H（cm）． 答：支点M″到OA的距离为cm． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，总分90.0分） 16．计算： 【考点】实数的运算．版权所有 【解答】解： ＝2﹣（﹣6）+1﹣1 ＝2+6+1﹣1 ＝8． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积；勾股定理．版权所有 【解答】证明：连接BD， 在Rt△ABD中，BD25， 在△BDC中，CD＝7，BC＝24， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠C＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB•ADCD•BC20×157×24＝234． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理、三角形面积、勾股定理等知识，熟记勾股定理逆定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 18．已知点A（a+b，a﹣b），B（2b﹣1，3a+7）关于x轴对称，求a，b的值． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【解答】解：∵点A（a+b，a﹣b），B（2b﹣1，3a+7）关于x轴对称， ∴， 解得． 即a＝﹣2，b＝﹣1． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 19．如图，一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明． 【考点】勾股定理的逆定理；垂线段最短．版权所有 【解答】解：CH是从村庄C到河边的最近路，理由如下： 在△CHB中，CH2+BH2＝2.42+1.82＝9＝32＝BC2， 即CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB为直角三角形，且∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， 由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路． 【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2． （1）求a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根和立方根． 【考点】立方根；平方根；算术平方根．版权所有 【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是1， ∴a+1＝1， 解得a＝0； ∵﹣27的立方根是b﹣12， ∴b﹣12＝﹣3， ∴b＝9； ∵c﹣3的平方根是±2， ∴c﹣3＝4， ∴c＝7． （2）由（1）知，a＝0，b＝9，c＝7， ∴a+b+c＝0+9+7＝16， ∴a+b+c的平方根是±4； ∴a+b+c的立方根是． 【点评】本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【考点】点的坐标．版权所有 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”， ∴|4﹣2a|＝|﹣2|， ∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2， 解得a＝1或a＝3； （3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， ∴3b﹣2＝4，解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（5，﹣5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．版权所有 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练运用计算法则是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，直线1为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣1，2）的一次反射点为（1，2），二次反射点为（2，1）．根据定义，回答下列问题： （1）点（3，﹣4）的一次反射点为 　（﹣3，﹣4）　；二次反射点为 　（﹣4，﹣3）　； （2）若P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合，求m+n的值． 【考点】坐标与图形变化﹣对称；关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【解答】解：（1）根据题意，结合平面直角坐标系，可得到： 点（3，﹣4）的一次反射点为（﹣3，﹣4）， 二次反射点为（﹣4，﹣3）， 故答案为：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3）； （2）由题意，∵P为（m+1，2n﹣1）， ∴P的第一次反射点（﹣m﹣1，2n﹣1）． 又∵Q为（﹣3，4）， ∴Q的第一次反射点为（3，4）． ∴Q的第二次反射点为（4，3）． 又∵P（m+1，2n﹣1）的第一次反射点和Q（﹣3，4）的第二次反射点重合， ∴﹣m﹣1＝4，2n﹣1＝3． ∴m＝﹣5，n＝2． ∴m+n＝﹣5+2＝﹣3． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题时要熟练掌握并能灵活借助数形结合是关键． 24．已知下列4个等式： 第1个等式：32＝2×2+5＝4+5； 第2个等式：52＝2×6+13＝12+13； 第3个等式：72＝2×12+25＝24+25； 第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【考点】勾股数；规律型：数字的变化类．版权所有 【解答】解：（1）第1个等式：32＝2×2+5＝4+5； 第2个等式：52＝2×6+13＝12+13； 第3个等式：72＝2×12+25＝24+25； 第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； ∴第5个等式：112＝2×30+61＝60+61； （2）第n个等式为（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1． 证明：∵（2n+1）2＝4n2+4n+1，2×n×（n+1）+2n2+2n+1＝4n2+4n+1， ∴（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1； （3）∵第一组：3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． 第二组：5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． 第三组：7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． 第四组：9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴当2n+1＝85， ∴n＝42， ∴第二个数为：2×n×（n+1）＝3612，第三个数为2n2+2n+1＝3613， 当2n（n+1）＝85时， 解得n不是正整数， 当2n2+2n+1＝85时， 解得n＝6（负值舍去）， ∴第一个数为：13，第二个数为：84， ∴这组勾股数为85，3612，3613或13，84，85． 【点评】本题考查的是勾股数属于规律性问题，熟练掌握各数据的变化规律是关键． 25．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．点D为边BC上一点，且BD＝AC，过点B作射线BP⊥BC，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，连接DE． （1）如图1，当BE＝CD时，线段AD与DE相等吗？请说明理由． （2）当线段DE与△ABD的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．版权所有 【解答】解：（1）AD＝DE． 理由：∵BP⊥BC， ∴∠PBC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠PBC＝∠C． 在△ACD和△DBE中， ． ∴△ACD≌△DBE（SAS）． ∴AD＝DE． （2）①如图1：DE⊥AD． ∴∠ADE＝90°． ∴∠ADC+∠BDE＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°． ∴∠CAD＝∠BDE． 在△ACD和△DBE中， ． ∴△ACD≌△DBE（ASA）． ∴BE＝CD． ∵BD＝AC＝5，BC＝8， ∴BE＝CD＝BC﹣CD＝3． ∴t＝3． ②如图2：DE⊥AB交AB于点O． ∴∠DOB＝90°． ∴∠ODB+∠OBD＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠OBD＝90°． ∴∠CAB＝∠ODB． 在△ACB和△DBE中， ． ∴△ACB≌△DBE（ASA）． ∴BE＝BC＝8． ∴t＝8． 答：点E运动的时间t的值为3或8． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质的综合应用．根据线段DE与△ABD的其中一边垂直判断出线段DE与边AD或AB垂直是解决本题的难点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/31 16:12:09；用户：熊生泉；邮箱：XFS-7667849852253157.42133300；学号：59424126 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$