6.3 角 课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 6.3 角 6.3 角 知识回顾 6.3 角 与线段一样，角也是一种基本的几何图形. 在本节中，我们将类比线段的研究内容和方法研究角的有关问题. 新课导入 6.3 角 1.理解角的概念，并会用不同的方法表示角，进一步熟悉几何符号语言、图形语言和文字语言. 2.掌握度、分、秒换算的基本方法，能熟练地进行有关角度的计算.学会比较角的大小，理解角的和、差、倍、分的意义. 3.掌握角的平分线、互为余角、互为补角的概念和性质，会求一个角的余角或补角. 4.理解方向角的概念，掌握方向角在实际生活中的重要作用. 学习目标 6.3 角 6. 3. 1 角的概念 在日常生活中，角的实例随处可见. 例如，钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线(图6.3-1), 都给我们以角的形象. 6.3 角 我们知道，有公共端点的两条射线组成的图形叫作角(angle)，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角通常用如图6.3-2的方法来表示. 6.3 角 6.3 角 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.如图6.3-4，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1’；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1". 6.3 角 借助三角尺，可以画出 30°，45°，60°，90°等特殊角；借助量角器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制，等等. 6.3 角 6.3 角 例1 如图6.3-5(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北(北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. 6.3 角 解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边 OB 落在东与北之间. 射线 OB 的方向就是北偏东40°(图6.3-5(2))，即客轮B所在的方向. 类似地，请你在图6.3-5(2)上画出表示货轮C和海岛D方向的射线. 6.3 角 1. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角? 8时呢? 8时30分呢? 解：6时整，钟表的时针和分针构成180°的角；8时整，钟表的时针和分针构成120的角；8时30分，钟表的时针和分针构成75°的角. 6.3 角 2.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来. ∠2 ∠BAC ∠B ∠4 ∠ADC 6.3 角 3.(1)35°等于多少分? 等于多少秒? (2)38°15’和38.15°相等吗? 如不相等，哪一个大? 解：(1)35°=35×60' =2 100' 35°=35×3 600" =126 000" (2)38°15'和 38.15°不相等, 38°15'大. 因为38.15°=38°+0.15×60' =38°9'<38°15', 所以 38°15' > 38.15°. 6.3 角 4.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形. 解：画法如下： (1)先画一个圆. (2)以圆的半径为半径用圆规在圆周上顺次截取六等份，在圆周上得到六个点A, B, C, D, E, F. (3)顺次连接这六个点就得到正六边形ABCDEF.如图所示. 6.3 角 6. 3. 2 角的比较与运算 我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢? 与线段长短的比较类似，可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 你能结合图 6.3-6，描述比较∠AOB 与∠A'O'B' 大小的方法和结果吗? 6.3 角 在图6.3-7中，∠AOC是∠AOB与∠BOC 的和，记作∠AOC= ∠AOB+∠BOC. ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB =∠AOC－∠BOC. 类似地，∠AOC－∠AOB =___________. 6.3 角 6.3 角 例2 如图6.3-9，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17' ，求∠BOC 的度数. 分析：AB 是直线，∠AOB是平角. ∠ BOC与∠AOC 的和是∠AOB. 6.3 角 = ＞ ∠AOC ∠AOD ∠BOC ∠BOD =116°10'. =29°45'. 6.3 角 我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段，类似地，在图6.3-10中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠AOC 分成两个相等的角. 这时有 6.3 角 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 类似地，还有角的三等分线(图6.3-11)等. 6.3 角 6.3 角 1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度? 要使每份中的角是15，这个蛋糕应等分成多少份? 6.3 角 2.如图，O是直线AB上一点，OC 是∠AOB的平分线，∠COD=31°28’.求∠AOD的度数. 6.3 角 6.3 角 6.3.3 余角和补角 在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°(30°+60°= 90°，45°+45°=90°). 一般地，如图6.3-13，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 6.3 角 类似地，如图6.3-14，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(supplementary angle)，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 下面，我们进一步研究余角、补角的性质. 6.3 角 因为∠1与∠2，∠3都互为余角，所以∠2=90°－∠1，∠3=90°－∠1，所以∠2=∠3. 由此得到关于余角的一个性质: 同角(等角)的余角相等. 对于补角也有类似的性质： 同角(等角)的补角相等. 6.3 角 例4 如图6.3-15，点A, O, B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和∠BOC. 图中哪些角互为余角? 分析：互为余角的两个角的和是 90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 6.3 角 6.3 角 1.图中给出的各角中，哪些互为余角? 哪些互为补角? 解：互余的角度为10°与80°，30°与60°; 互补的角度为10°与170°，30°与150°，60°与 120°, 80°与 100°. 6.3 角 2.一个角是70°39' ，求它的余角和补角. 解：90°－70°39' = 19°21', 180°－70°39'=109°21'. 所以它的余角是19°21’, 补角是109°21’. 3.∠α 的补角是它的3倍，∠α 是多少度? 解：设∠α是x°, 则它的补角是(180－x)°. 根据∠α的补角是它的3倍，列得方程3x=180－x. 解方程得x=45. 所以∠α是45°. 6.3 角 4.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量? 解：测量的方法：反向延长线段OA, 并在延长线上取一点C. 我们测量出∠BOC的度数后, 求得它的补角的度数即为∠AOB的度数.(答案不唯一) 6.3 角 课堂小结 6.3 角 6.3 角 6.3 角 谢谢观看 6.3 角 $$