24.5相似三角形的性质同步练习2024-—2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.5相似三角形的性质同步练习2024-2025学年九年级第一学期数学沪教版 (1) 相似三角形的性质(性质定理1) 要点归纳 掌握相似三角形对应高的比、对应中线比和对应角平分线的比都等于相似比. 疑难分析 例1 如图24-29,已知在△ABC和△A₁B₁C₁ 中,AD 和BE 是 的高， 和 B₁E₁ 是△A₁B₁C₁的高,且 求证： 例2 如图24-30,D 是△ABC的边BC 上的点, BE是 的角平分线,交 AD 于点F,BD =1,CD =3,求BF : BE. 基础训练 1. 已知△ABC∽△A'B'C'的相似比为2:3,则它们对应中线的比为 . 2. 已知△ABC∽△A'B'C', AD, A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线，且 则 3. 若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为 . 4. 如图，将边长为6厘米的正方形ABCD折叠，使点 D 落在边AB 的中点E 处,折痕为FH,点C落在Q处,EQ与BC 交于点G，则△EBG的周长是 厘米. 5. 如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于点D.给出下列结论:①∠AFC = ∠C;②DF = CF;③△ADE ∽△FDB;④∠BFD =∠CAF. 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号). 6. 将三角形纸片 按如图所示的方式折叠，使点 B落在边AC 上，记为点 折痕为 EF.已知. ，若以点 B'，F，C为顶点的三角形与 相似，则BF的长度是 . 7. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， D, E 分别为AB, AC 上一点,且 求证： 8. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AC,AB的中点,DF⊥AC,DF与CE 相交于点F，AF 的延长线与BD 相交于点G. (1) 求证: (2) 连接CG,求证:∠ECB = ∠DCG. 拓展训练 9. 如图,已知M为线段AB 的中点,AE与BD 交于点C,且DM交AC 于点F, ME交BC 于点G. (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2) 连接FG,如果 求 FG的长. (2) 相似三角形的性质(性质定理2, 3) 要点归纳 理解并会运用相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方. 疑难分析 例1 如图24-31,已知在△ABC中,点D,E在AB, AC上,DE ∥BC,△ADE 和四边形BCED 的面积相等,求AD:BD 的值. 例2 如图24-32,等边三角形ABC 边长是7 厘米,点D, E分别在AB 和AC 上,且 将△ADE 沿DE翻折,使点 A 落在 BC 上的点 F 上. (1) 求证:△BDF∽△CFE; (2)求 BF的长. 基础训练 1. 如图，已知等边三角形 ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论中正确结论的个数为( ). ①DE = 1;②△C DE ∽ △CAB;③△C DE 的面积与△CAB 的面积之比为1:4. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1:2,则△ABC 与△DEF的周长比为( ). A. 1:4 B. 1:2 C. 2:1 3. 在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,且CD=2,DE = 1,则 BC的长为( ). A. 2 4. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，以下条件中一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( ). ①∠1=∠A; ② ③∠B+∠2=90°;④ BC: AC:AB =3:4:5; ⑤AC·BD = BC·CD. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是边BC上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF，则△DEF 的周长为( ). A. 9.5 B. 10.5 C. 11 D. 15.5 6. 如图,在正方形ABCD中,E为AB 的中点,AF⊥DE于点O,则 等于( ). B. C. D. 7. 如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC, AC, AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB, FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于( ). A. 1:3 B. 2:3 D. :3 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA = BC.点D是AB的中点,连接CD,过点B作 BG⊥CD,分别交CD,CA 于点E,F,与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G,连接DF.给出以下四个结论： ①②点F是GE的中点;③AF = AB;其中正确的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 9. 如图,点 E 是矩形ABCD 的边 BC 上一点,EF⊥AE, EF 分别交AC,交 CD 于点M,F, BG⊥AC,垂足为点G, BG交AE 于点H. (1) 求证:△ABE∽△ECF; (2) 找出与△ABH相似的三角形，并证明； (3) 若E 是BC 中点,BC=2AB,AB =2,求EM的长. 拓展训练 10. 如图,在▱OABC中,点A 在x轴上,∠ 4厘米， 厘米.动点P从点O出发，以1厘米/秒的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以a厘米/秒的速度沿线段OC→CB 运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1) 点C的坐标是 ，对角线OB的长度是 厘米； (2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大； (3) 当点 P 在OA 边上,点 Q在CB 边上时,线段 PQ与对角线OB 交于点M.若以O，M，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求a与t 的函数关系式，并直接写出t的取值范围. (3) 相似三角形的性质应用(1) 要点归纳 灵活应用相似三角形的性质. 疑难分析 例1 如图24-33,已知在Rt△ABC中,∠ACB =90°,CD⊥AB 于点D. 求证： 例2 如图24-34,已知 AM ∥BN,∠A = 90°,AB = 4,点 D 是 AM 上的一个动点(点 D 与点 A 不重合)，点E是AB上的一个动点(点E与点A，B不重合)，连接DE,过点E作DE的垂线,交BN于点C,连接DC.设AE = x, BC = y. (1) 当AD =1时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 如果动点D，E在运动时，始终满足条件. DE =AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D，E 的运动而发生变化?请说明理由. 基础训练 1. 如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是( ). A. 1:2 B. 1:4 D. 2:1 2. 若两个相似三角形的面积比为4：1，那么这两个三角形的周长比为( ). A. 4:1 B. 1:4 C. 2:1 D. 16:1 3. 在△ABC中,∠C=90°,D是边AB 上一点(不与AB重合),过点 D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( ). A. 1 条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 某装潢公司要在如图所示的五角星中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若BC = 米，则需要安装闪光灯( ). A. 100盏 B. 101盏 C. 102盏 D. 103盏 5. 如图,D, E两点分别在△ABC的边AB,AC上,DE与BC 不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,△ADE∽△ACB. 6. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB 和AC的中点,F是BC 延长线上一点,DF平分CE于点G,CF = 1,则BC= ;△ADE与∠ 的周长之比为 . 7. 如图,△ABC与△AEF中, ,AB交EF 于点D.下列结论中正确的是 (填写所有正确结论的序号). ①∠AFC =∠C; ② DF = CF; ③△ADE∽△FDB; ④∠BFD =∠CAF. 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,直线EF ∥BD交AB于点E,交AC 于点G,交AD 于点F,若 则 9. 我们可以用下面的方法测出月球的距离：如图，在月圆时，把一个5分的硬币(直径约为2.4厘米)，放在离眼O约2.6米的AB处，正好把月亮遮住，已知月球的直径约为3500千米，那么月球与地球的距离约为 千米. 10. 在△ABC中,AB =5,BC=6, AC =7,点D, E分别在边AB, AC上,且 (1) 如果△ADE的面积与梯形BCED 的面积相同,求 DE 的长; (2) 如果△ADE 的周长与梯形BCED 的周长相同,求 DE 的长. 11. 如图,已知在△ABC中,∠ACB = 90°,CM 是斜边AB 上的中线. (1)过点 M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点 D 和点 E,求证:△CDM∽△ABC; (2) 过点M的直线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E，如果 求证:CM⊥DE. 拓展训练 12. 如图,点O为矩形ABCD 的对称中心,AB=10厘米,BC=12厘米.点 E,F,G 分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1厘米/秒，点F的运动速度为3厘米/秒，点G的运动速度为1.5厘米/秒.当点 F 到达点C(即点 F 与点C 重合)时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB'F.设点 E, F,G运动的时间为t 秒. (1)当t= 秒时,四边形EBFB'为正方形; (2)若以点 E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； (3)是否存在实数t，使得点 B'与点O重合? 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (4) 相似三角形的性质应用(2) 要点归纳 灵活应用相似三角形的性质. 疑难分析 例1 如图24-35,已知正方形DEFG的边EF 在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH是△ABC的高,BC=60厘米,AH=40厘米,求正方形DEFG的边长. 例2 如图24-36,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB 边上的任意一点(点D 不与点A，B重合)，过点 D 作 交 AC 于点 E.设DE =x,以DE 为折线将△ADE 翻折(使△ADE落在四边形DBCE 所在的平面内),所得的△A'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y. (1)用x表示△ADE 的面积; (2) 当0<x<10时,求出y与x的函数关系式. 基础训练 1. 如图,已知G是△ABC的重心,AG, BG的延长线分别交BC 于点F,交AC 于点E,且S△GEF = 1平方厘米，则S△GBA = . 2. 如图,在矩形ABCD 中,如果M是BC 的中点,DE⊥AM,E为垂足, 6,则DE = . 3. 如图,在梯形ABCD中,AD ∥BC, S△AOD =4平方米,S△BOC =9 平方米,则 S梯形ABCD = 平方米. 4. E 是平行四边形ABCD 的边 AB 上的一点,且 AE : EB =1: 2. AC, DE 交于点F,则 FC : AC = . 5. 如图，等腰直角三角形的斜边BC长是110厘米，四边形 DEFG是△ABC的内接矩形,且DE :EF =5:3,则GF = 厘米. 6. 如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB = DC,对角线AC = BC = 2AB,过点 A作AE ∥DC 交BC 于点E,那么 BE : EC = . 7. 如图，已知 则. 8. 如图,DE 是△ABC的中位线,N是DE的中点,CN的延长线交AB 于点M,若 24,则 S四边形AMNE = . 9. 梯形ABCD 的面积为S,AB ∥CD,AB =b,CD =a(a<b),对角线AC,BD 相交于点O，△BOC的面积为- ,求a:b的值. 10. 如图,在△ABC中,BE⊥AC,CD⊥AB.若; 求 的度数. 拓展训练 11. 如图，反比例函数的图像经过点. 和点 的顶点C，D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图像经过点 A，C，D. (1)求直线AB的表达式； (2) 求点 C, D的坐标; (3) 如果点 E 在第四象限的二次函数图像上，且，求点 E 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$