陕西省榆林市定边县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

定边四中2024~2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.直线lv③x+y-③-0的斜率为 ##}## B-# D.③ A.一3 2.已知向量a=(1,m,-1),b-(1,-1,1),若alb,则m= D.2 B.0 A.-1 C.1 3.已知圆C:x+(y-1)-1与圆C:(x-2)②+-1,则C 与C的位置关系为 C.外切 D.外离 A.内切 B.相交 4.在长方体ABCD-A.B.CD. 中,M为梭CC.的中点.若AB-a,AD=b,AA=c,则AM ##-0#。# B#t# #_ D.ad。# 5.两平行直线mx-3y-2-0与4x-6y-7=0之间的距离为 7 B.3 26 【高二期中考试·数学试卷 第1页(共4页)】 25-T-260B 6.已知曲线C;x2+=12(x→0),过C上任意一点A向y轴引垂线,垂足为B,则线段AB的 中点Q的轨迹方程为 #t行 Bt#一1 Cf{) Df一1(→0 7.过P(-3,2)作与圆C:r2十y2十4y十m=0相切的两条直线PA,PB,切点分别为A,B,且 c0%AB一 A.3 B.2 C.1 8.如图,圆柱OO的母线长和底面直径相等,AB,CD分别是下底面圆O和上底面圆O的直径, D.0 且ABICD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值是 {#)#~# 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 A.长轴长为6 B.两个焦点的坐标分别为(一-2,0).(2,0) C. PF|的最大值是5 D.△PF,F:的周长为12 10.设mR,直线1的方程为(m-1)x十(m+1)y+2-0,则 A.直线(过定点(1,1) B.若直线(在x轴上的截距为一2,则/在y轴上的截距为-2 C.直线1与圆C:(x-1)*十-2相交 D.点P(一1,0)到直线(的最大距离为v5 11.在四面体ABCD中,AB1BD,CD1BD,AB-2BD=2CD-2,若四面体ABCD的体积为 A.二面角A-BD-C的大小可能为30* B.二面角A-BD-C的大小可能为60 C.AC的长可能为2 D.AC的长可能为2/2 【高二期中考试·数学试卷 第2页(共4页)】 25-T-260B 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 13.若圆x*②+y2-4上恰有2个点到直线v③x-y+m=0的距离等于1,则n的取值范围 14.设F,F.分别为糊圆C.-1(c>0)的左,右焦点,过点F,且候斜角为60”的直线 与圆C交于A,B两点,若1ABl-3lFBl,则圆C的离心率为 四、解答题;本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线n经过点(1,-3),直线n的方程为2x-3y十1-0 (1)若m/n,求直线n的方程 (2)若m|n,求直线m的方程 16.(本小题满分15分) 已知三点O(0,0),A(2,0),B(-1,-1),记△AOB的外接圆为C (1)求⊙C的标准方程; (2)若直线l:x-y-1-0与⊙C交于M,N两点,求△CMN的面积. 17.(本小题满分15分) 如图,在四楼锥P-ABCD中,AB1AD.CDAD.AB-AD-PD-CD-1,PA-V2, PC=/5,点Q为楼PC上一点 (1证明:PACD; (2)当点Q为校PC的中点时,求直线PB与平面BDO所成角的 正弦值. 【高二期中考试·数学试卷 第3页(共4页) 25-T-260B 18.(本小题满分17分) 已知圆C经过点A(-2.0)与点B(2). (1)求圆C的方程; ①证明:直线/过定点; ②求△AMN的面积的最大值 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oxyz中,定义:过点A(xco,yo,zo),且方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0) 的直线的点方向式方程为xoy2_x-;过点A(xo,yo,zo),且法向量为m= (a,,c)(a+b②+c2}0)的平面的点法向式方程为a(x-xo)+b(y-)%)十c(z-zo)-0,将 其整理为一般式方程为ax十by+cx-d-o,其中d=ax。+by。+cxo. (1)求经过A(-1.2,4),B(2,0,1)的直线的点方向式方程; 过进我进 (2)已知平面n:2x-3y+z-1=0,平面 :x+y-2z+4=0,平面x:(m+1)x-(2m+3)y+ (m+2)z-5-0,若gO③=l,lx,证明:l/; & (3)已知斜三梭柱ABC-A.BC 中,侧面ABBA:所在平面a经过三点P(-4,0,0), Q(-3,-1,1),H(1,-5,-2),侧面BCCB所在平面 的一般式方程为y+z+4-0,侧 面ACCA所在平面*的一般式方程为2x-my+(2m十1)z十1-0,求平面ABBA 与平面ACCA:的夹角大小 【高二期中考试·数学试卷 第4页(共4页)】 25-T-260B定边四中2024~2025学年第一学期高二期中考试·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.A直线l:3x+y一√3=0可化为y=一√3x十3，所以直线l的斜率k=一√3.故选A 2.B因为a⊥b,所以a·b=1-m-1=0,解得n=0.故选B. 3.D易知圆C:x2+(y-1)=1的圆心C(0,1),半径n=1,圆C2:(x-2)2+y=1的圆心C2(2,0),半径 n=1,所以|CC2|=5>2=n1十n,所以C与C外离.故选D 4.Di=A范+BC+Ci=a+Ai+2C心=a+b叶2A=a+b叶之c故选D. 5.B由题意知受-名≠号，所以m=2,则4缸一6y一7=0化为2：一3y一子-0，所以两平行直线2一3y -2+ 2=0与4.x-6y-7=0之间的距离为d= 313 故选B √2+(-3) 26 6.C设A(x,%),xo>0,Q(x,y),则B(0,%),由题意可知 西=2r”将点A()代人上十y 2‘即 (y%=y. y=%, =12(x>0),得4r+=12(x>0,即号+范=1(x>0).故选C 7.A圆C:x2十y2十4y十m=0化为标准方程C:x2十(y十2)2=4一m,则圆心C(0,一2)，半径r=√4一m (一21<m<),由题意知cas∠APB=1-2sim∠APC=器，解得m∠APC=言，负值舍去，在R△APC 中，C=5,且阅-甘所以=言解得m=3放选A 8.A以点O为坐标原点，AB所在直线为y轴，OO所在直线为：轴，在底面圆O中， 过点O且垂直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设|AB引=2， 则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(1,0,2),D(-1,0,2),所以AC-(1,1,2),BD (一1，一1,2)，设异面直线AC与BD所成的角为0，则cos0= AC.BDI ACI BDI 后后专散选入 9.AC椭圆C号+苦-1，于是a=3,6一5，所以长轴长为2a=6,A正确：由方程可知，椭圆C的两个焦点在 y轴上，又c=√a2一=2，所以两个焦点的坐标分别为(0，一2)，(0,2)，B错误：由椭圆的性质知PF|的 最大值为a十c=3+2=5,C正确；根据椭圆的定义知△PFF2的周长|PF1|+|PF|+|FF2|=2a十2C =10,D错误，故选AC 10.BCD对于A项，直线1的方程为(m一1)x+(m+1)y+2=0化为(x+y)m+(一x+y+2)=0,由 1x+y=0, -x+y+2=0, 解得/1， y=-1. 所以直线1恒过定点(1，一1)，A错误：对于B项，当直线1在x轴上的截距 为一-2时，令y=0,则x=2,m=一2，解得m=2,此时直线1的方程为x十3y十2=0.则1在y轴上的截距 【高二期中考试·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 25-T-260B 为-号，B正确：对于C项，由A项可知直线过(1，一1D,因为1-1)十(-1)°<2，所以点1，-D在圆C的 内部，故直线1与圆C:(x一1)+y=2相交，C正确：对于D项，当点P(-1,0)与点(1，一1)的连线与1垂 直时，点P(一1,0)到直线1的距离最大，且为√（一1一1）+(0+1)严=√5，D正确.故选BCD 1.BCD因为AB⊥BD,所以体积V=寸×号×2X1Xh=令，其中h为点C到平面ABD的距离，所以A ,又成，式是二面角A-BD-C的平面角，所以sm,心=是-，即二面角A-BD-C的大小 为60°或120，故A错误，B正确：因为AC-AB+Bd+DC,AB=2BD=2DC=2,所以AC=AB+BD+ DC=√6-4cos(BA,DC.当(BA,DC=120时，AC=22,当(BA,DC)=60时，AC1=2,故C,D均 正确.故选BCD. 12.是因为a/.所以p/r,则-2=二，解得m=受 13.(一6，-2U(2.6)由题意知圆心到直线的距离d1,3).又因为d=罗，所以1<父<3，解得-6<m <-2或2<m<6. 14.号 设|F1B|=m,由AB=3|FB,得|AF|=2m,由椭圆的定义知|BF2|=2a一m,|AF2|=2a 2m,在△AF,F中，(2a-2m)=(2m)+(2c)2-2X2m×2cX7,整理得2-mc=a2-2am①，在△BFF 中，(2a-m)2=m+(2e)P-2XmX2c×(-）,整理得2+号mc=d2-am②，由@-①，得号mc=am 则合=号，故椭圆C的离心率为号。 15.解：(1)由m∥n,可设直线m的方程为2.x-3y+a=0. …2分 将点(1，-3)带人方程，得2×1一3×(-3)十1=0，解得1=一11.… 4分 所以直线m的方程为2x一3y一1门=0.…6分 (2)由m⊥1，可设直线m的方程为3.x十2y十=0.… 7年车▣平”年年4年：年49分》 将点(1，-3)代入方程，得3×1+2X(-3)十=0，解得4=3.… 11分 所以直线m的方程为3x十2y+3=0. 13分 16.解：(1)设⊙C的一般方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, (F=0, 由题意可知，4十2D十F=0, 3分 1+1-D-E+F=0, 解得D=一2，E=4,F=0,… 5分 所以x2+y2-2.x+4y=0. 故⊙C的标准方程为(x一1)2十(y十2)2=5. …7分 (2)由(1)可知，C(1,一2)，半径r=5.…8分 则圆心C到直线1的距离为d=1+2-1山=2， …11分 ② 所以|MN|=2-=2/(W5)2-(2)2=23,…13分 【高二期中考试·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 25-T-260B 故△CMN的面积为Sa=号|MN·d=√后. 15分 17.(1)证明：因为PD=1,CD=2,PC-√5，所以PD+CD=PC, 所以CDPD,…2分 又CD⊥AD,且AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 4分 又PAC平面PAD所以PA⊥CD.… 5分 (2)解：因为PA=√2，AD=PD=1,所以ADP十PD=PA2,则PD⊥AD.…7分 由(I)可知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，以DA,DC,DP所在直 线分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxy。 则D(0,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),…8分 当点Q为棱PC的中点时，Q(01号)，P成=(1,1，-1)，D成 11,0.D0-(0,1,2）. …10分 设平面BDQ的一个法向量m=(x,为，2)， Di·m=0, m十%=0， 则 即 令为=一1，解得x6=1,%=2,故m=(1,一1,2)，…13分 D0.m=0, %十2=0, 设直线PB与平面BDQ所成角为0， 则sin0=|cos(m,P弦1=m·P 2 |m|PBv6X√33' 故直线PB与平面BDQ所成角的正弦值为号 15分 18.(1)解：设椭圆C的方程为Ax2+By=1(A>0,B>0,A≠B), 1 分 4A=1, 由题意可得 2A+2B=1 解得A=},B=1, 3分 故椭圆C的方程为号十=1.…。 分 (2)①证明：易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=ty十m,则m≠一2，…5分 联立C与直线1的方程，得 +=1 消去x并整理，得(2十4)y2+2mty十m2一4=0， x=ty+m, 则△=4m22-4(F十4)(m2-4)>0,所以2-m2+4>0, 设M为)，N(22),则十y= 12+4M=m一4 2mt -+4 7分 因为∠MAN=受，所以Ai.A=(m+2)(十2)十%为=0，. 8分 即(tM十m十2)(t5十m+2)十y=0,所以(+1)y2十(m+2)(y+2)+(m十2)2=0， 则+1D…+m+2(）+(m+22=0.… 2十4 …9分 整理，得5m2+16m+12=0,解得m=- 号(m=-2含去)， 【高二期中考试·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 25-T-260B 所以直线1的方程为x=y一号，放直线1过定点(-号，0)， 10分 ②解：由①知m=一号，则十一5D一257并D 12 -64 直线1过定点(-号0).设为D.则AD=号… 11分 所以△AMN的面积为5An=号|AD·|y一为=号√M+为)-4 8√25r+64 25(2+4) …12分 设u=√/25+64，则u>8,所以S△w=云 u 8 ,64+4w+3 13分 25 4 由函数)=u+的在[8，十o○)上单调递增知u+的≥8十号-空.所以S 8 16 2 25 ，当且仅当u=8, 即1=0时等号成立，… 15分 故△AMN的面积的最大值为号 17分 19.(1)解：由A(-1,2,4),B(2,0,1)得，直线AB的方向向量为m=AB=(3,-2,-3), …1分 故直线AB的点方向式方程为宁=是二（若答案写为：行=2子也正确）： …3分 (2)证明：由平面a1:2x一3y十2一1=0可知，平面a1的法向量为m1=(2,一3,1)，…4分 由平面3：x十y一2x十4=0可知，平面3的法向量为m%=(1,1,一2)，…5分 设交线l的方向向量为n=(xo,,),则m1·n=0,m·n=0, 6分 (2x0-30+20=0 即 令0=1，解得xo=1,%=1,故n=(1,1,1),…8分 x6十%-2o=0, 又平面1：(+1)x一(2m+3)y+(m十2)2-5=0的法向量为m=(m+1,一2一3，m十2)， mg·n=(n十1)X1-(2十3)X1十(n十2)X1=0,…9分 因为吐%，所以∥y,……10分 (3)解：设侧面ABBA所在平面am的法向量n:=(,力，21)， ............................................. 11分 因平面am经过三点P(-4,0.0),Q(-3,-1,1),H(1,-5,-2),则P0=(1,-1,1),P方=(5，-5，-2)， Pi·n=0, 所以 即 一”+=0， 令x1=1,解得y=1,刘1=0，… 12分 Pi.m=0,15x1-5y-2=0, 故平面a2的法向量m=(1,1,0), 平面及：y十x十4=0的法向量为2=(0,1,1)， 由(2)可求得平面a2与平面及的交线的方向向量为m=(1,一1,1)，…14分 平面：2x一y十(2十1)x+1=0的法向量为m=(2,一1,2m十1)， 由m4·m=(1,-1,1)·(2,-m,2m+1)=2+m十2m+1=0, 解得=一1，则m与=(2,1，一1)，… 15分 1·m5 35 所以cosm,m)=Tm·1mT一2X后-2· 16分 故平面ABBA与平面ACCA,夹角的大小为若. …17分 【高二期中考试·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 25-T-260B上) s1中9! 的) 00-1页(七)1是, ·耳耳 (中s 中雎二s20乙→>70乙中 三 38只 实;整的目 三到区 三三回三 8 EE 50)要非 斗蹈景 素 一,和。 888 三回回 8888 三行写 EE 333 n~。 写E 8E 2 . 出 (421中)6 (1”! ★实的 (St上!