专题03与直线有关的三种最值问题-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第一册）

专题03与直线有关的三种最值问题 题型01两点间距离的最值问题 【典例分析】 【例1-1】（2024秋•秦州区校级月考）直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则的最大值是　 　． 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可． 【解答】解：因为与直线的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题考查距离公式的应用，最值的求法，是基础题． 【例1-2】．（2024秋•古冶区校级月考）已知点，分别是直线与直线上的点，则的最小值为 　 　． 【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案． 【解答】解：由题意可知直线，直线，即， 则两直线斜率均为，且两直线不重合， 所以直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识：直线间的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 【例1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)存在，定点为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，再求解即可. （2）根据当时，点到直线的距离的最大，即可得到答案. 【详解】（1）直线， ，令，即直线恒过. （2）当时，点到直线的距离的最大， . 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值. 【详解】联立，解得， 把代入，得，， 点到原点的距离 ， 当且仅当时取等号． 点到原点的距离的最小值为． 故选：D． 【变式1-2】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出点到直线的距离的最大值. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于， 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【变式1-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知直线（为任意实数），直线. (1)当时，求的值； (2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线平行公式建立的方程求解，注意检验两直线重合的情况； （2）先求出直线的垂线，联立方程求解点Q，把点Q到直线的距离的最大值转化为两点的距离求解. 【详解】（1）当时，有，解得；经检验与不重合， 所以. （2），斜率为， 过点与直线的垂线的直线方程为：即， 联立方程，解得，即Q， 直线即， 联立，解得，所以直线恒过点， 使点Q到直线的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线， 此时点Q到直线的距离的最大值为：. 题型02与距离之和（差）有关的最值问题 【典例分析】 【例2-1】（2024秋•珠海校级月考）若点在直线上，则点到点，的距离之和的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，先求出点关于直线的对称点为，再结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：设点关于直线的对称点为， 则，解， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题． 【例2-2】（2024秋•龙港区校级月考）在直线上一点到点，两点距离之和最小，则点的坐标为 　 　． 【分析】首先利用点关于线的对称关系求出点的坐标，进一步利用两点坐标确定直线的方程，进一步建立方程组求出点的坐标． 【解答】解：点关于直线的对称点的坐标设， 故点和的中点坐标满足，且， 故， 故，解得， 故． 故直线的方程为． 所以点的坐标满足，解得． 故． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，中点坐标公式，直线垂直的充要条件，二元一次方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 【例2-3】．（2023秋•河南月考）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点，，为坐标原点． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值． 【分析】（1）由题意可得是直角斜边的中点，所以可以求出，由此即可求解． （2）把坐标代入两点式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）由题意易得直线过定点，又，且， 则，而是直角三角形， 故为的中点，故， 故． （2）设，，其中，，则直线的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当时取等号， 故的最小值为． 【点评】本题考查了两点之间的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题． 【变式演练】 【变式2-1】（2024春•洮北区校级期末）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】推导出点，在直线同侧，求出点关于直线的对称点为，的最小值为，由此能求出结果． 【解答】解：两定点，，动点在直线上， 点，在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，，， 的最小值为： ． 故选：． 【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-2】（2023秋•宝山区校级期末）已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 　 　． 【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和，再利用几何意义求解得出答案． 【解答】解：设点的坐标为，， 则动点到直线距离为， 动点直线的距离为， 所以曲线 上一动点到直线和直线的距离之和为， 令，即， 则的几何意义是过点的直线在轴上的截距， 因为点在曲线上， 所以当直线与曲线相切时有最值， 因为曲线 是以圆心，1为半径的圆， 则， 解得或， 所以曲线 上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线方程的应用，属于中档题． 【变式2-3】（2023秋•丰城市校级期中）已知直线和点，． （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）在直线上求一点，使的值最大． 【分析】（1）求出点关于直线对称点为，为直线上一点，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时取得最小值，点即是直线与直线的交点，由此能求出结果． （2），两点在直线的同侧，是直线上的一点，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时取得最大值，点即是直线与直线的交点，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，， ， 为直线上一点，则， 当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时， 当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时取得最小值，点即是直线与直线的交点， 解得，解得，， ． （2），两点在直线的同侧，是直线上的一点， 则， 当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时取得最大值， 点即是直线与直线的交点， 又直线的方程为， 由，得，， ． 【点评】本题考查满足条件的点的坐标的求法，考查两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 【变式2-4】（2023秋•万载县校级期中）设是抛物线上的一个动点． （1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； （2）若，求的最小值． 【分析】（1）所求距离等于到点的距离与点到焦点的距离之和，当、、三点共线时，距离之和最小，由两点间的距离公式可得； （2）所求距离等于到准线的距离，当、、三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得． 【解答】解：（1）可得抛物线的焦点，准线方程为， 点到点的距离与点到直线的距离之和 等于到点的距离与点到焦点的距离之和， 当、、三点共线时，距离之和最小，且为， 由两点间的距离公式可得； （2）由抛物线的定义可知等于到准线的距离， 故等于到准线的距离， 可知当、、三点共线时，距离之和最小， 最小距离为 【点评】本题考查抛物线的定义，涉及点到点、点到线的距离，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属中档题． 【变式2-5】．（2022秋•灵川县校级期中）已知直线，点，． （1）求线段的中垂线与直线的交点坐标； （2）若点在直线上运动求的最小值． 【分析】（1）两条直线联立即可得交点坐标；（2）根据对称性，可得的最小值． 【解答】解：（1）因为，，所以的中点坐标为， 直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2， 所以线段的中垂线方程为，化简得， 联立，解得， 所以线段的中垂线与直线的交点坐标为； （2）设点关于直线的对称点为，则的中点坐标为， 因为点在直线上，所以，① 又直线的斜率为2，所以②，联立①②解得， 因为，所以的最小值为． ． 【点评】本题考查直线方程的求法，属于中档题． 题型03与面积有关的最值问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】因为直线过点，所以， 令，可得，即直线与轴交于点， 令，可得，即直线与轴交于点， 依题意可得、，所以，则，当且仅当， 即、时取等号， 所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号， 即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为. 故选：B 【例3-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值． 【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上． 设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且， 所以． 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 故答案为：2. 【例3-3】（2024秋•晋江市校级月考）设直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过一定点； （2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，，当△面积最小时，求此时的直线方程； （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 【分析】（1）因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标． （2）令得，，令可得，．因为，点，分别在，轴的正半轴上，所以，得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程． （3）由（2）可知直线分别与，轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且也为正整数求得．将的值代入原方程即可． 【解答】解：（1）由得，则，解得， 不论为何值，直线必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， 直线方程为． （3）直线在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而也为正整数， ，， 直线的方程为． 【点评】本题主要考查直线方程的应用，考查计算能力，属于中档题． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 【答案】A 【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为， 分别与联立可得两点的横坐标：， 故，两点都在x轴的上方， 故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最小值为8， 故选：A． 【变式3-2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出直线的截距式方程，推出截距关系式，写出面积的表达式，再由不等式得最值． 【详解】设直线为， 因为直线过点，则， 三角形面积为， 利用均值不等式，，即， 当且仅当等号成立， 于是，三角形面积为． 故答案为： 【变式3-3】．（2024秋•邵东市校级月考）已知△的三个顶点分别为，，，直线经过点． （1）求△外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求△面积的最大值，并求出直线的斜率． 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时△为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解． 【解答】解：（1）设△外接圆的方程为，， 因为△的三个顶点分别为，，， 所以，解得， 则圆的方程为， 即； （2）由（1）得圆的圆心坐标为，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为1，成立． 综上，直线方程为或． （3）由在圆外， 则在△中，，，， 又， 则当，即时，取得最大值为2， 此时△为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 【变式3-4】．（2024秋•临川区校级月考）（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点，直线恒过定点，已知和交于点． ①求出定点，的坐标； ②求△面积的最大值． 【分析】（1）由直线的一个方向向量，可得直线的斜率，由斜截式方程可得直线的方程； （2）分别求出两条直线恒过的定点的坐标，再由两条直线系数的关系，可得两条直线垂直，即交点在以为直径的圆上，设的中点，当时，△的面积最大，进而求出三角形面积的最大值． 【解答】解：（1）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 又因为在轴上的截距为， 所以直线的方程为， 即； （2）直线整理可得：， 令，解得，，即直线恒过定点， 直线整理可得， 令，可得，，所以直线恒过定点， 直线即为，直线， 又因为， 可得直线， 所以点在以为直径的圆上，设的中点为， 当时，△的面积最大， 且最大值为． 【点评】本题考查直线恒过定点的求法及三角形面积最大值的求法，属于基础题． 【变式3-5】．（2024秋•龙岗区校级月考）已知直线过定点 （1）若到直线的距离为3，求直线的方程； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，求△为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【分析】（1）就斜率是否存在分类讨论后结合点到直线的距离公式可求直线方程； （2）设直线为，则可用斜率表示面积，结合基本不等式可求面积的最小值，从而可求直线方程． 【解答】解：（1）当直线斜率存在时，设直线方程为即， 点到直线的距离为，解得． 此时直线的方程为即． 当直线斜率不存在时， 由过得，满足到的距离为3． 综上所述，所求的直线方程为或． （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点， 则设直线为，，则， ，当且仅当时取等号， 故△面积的最小值为12，此时直线的方程为． 【点评】本题考查直线方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与直线有关的三种最值问题 题型01两点间距离的最值问题 【典例分析】 【例1-1】（2024秋•秦州区校级月考）直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则的最大值是　 　． 【例1-2】．（2024秋•古冶区校级月考）已知点，分别是直线与直线上的点，则的最小值为 　 　． 【例1-3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【变式1-3】（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知直线（为任意实数），直线. (1)当时，求的值； (2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值. 题型02与距离之和（差）有关的最值问题 【典例分析】 【例2-1】（2024秋•珠海校级月考）若点在直线上，则点到点，的距离之和的最小值为　　 A． B． C． D． 【例2-2】（2024秋•龙港区校级月考）在直线上一点到点，两点距离之和最小，则点的坐标为 　 　． 【例2-3】．（2023秋•河南月考）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点，，为坐标原点． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值． 【变式演练】 【变式2-1】（2024春•洮北区校级期末）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•宝山区校级期末）已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 　 　． 【变式2-3】（2023秋•丰城市校级期中）已知直线和点，． （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）在直线上求一点，使的值最大． 【变式2-4】（2023秋•万载县校级期中）设是抛物线上的一个动点． （1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； （2）若，求的最小值． 【变式2-5】．（2022秋•灵川县校级期中）已知直线，点，． （1）求线段的中垂线与直线的交点坐标； （2）若点在直线上运动求的最小值． 题型03与面积有关的最值问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·湖北·阶段练习）直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【例3-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 【例3-3】（2024秋•晋江市校级月考）设直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过一定点； （2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，，当△面积最小时，求此时的直线方程； （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 【变式3-2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 ． 【变式3-3】．（2024秋•邵东市校级月考）已知△的三个顶点分别为，，，直线经过点． （1）求△外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求△面积的最大值，并求出直线的斜率． 【变式3-4】．（2024秋•临川区校级月考）（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点，直线恒过定点，已知和交于点． ①求出定点，的坐标； ②求△面积的最大值． 【变式3-5】．（2024秋•龙岗区校级月考）已知直线过定点 （1）若到直线的距离为3，求直线的方程； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于，两点，求△为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$