5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（分层作业，10大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 题型1 正弦函数的图象 1．下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 2．三角函数在区间上的图像为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解. 【详解】解：∵为奇函数， ∴的图像关于原点对称，故排除A、D选项， 三角函数在区间上的最大值为，故排除B选项. 故选：C. 3．函数，的简图是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由以及正弦函数的图像即可得到答案． 【详解】的图象可看作是由的图象关于轴对称后得到的，故选B． 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，属于基础题． 题型2 五点法画正弦函数的图象 1．从函数的图象来看，对应于的x有（  ） A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 【答案】B 【分析】作出函数的图象，确定直线与图象交点个数即可. 【详解】函数的图象，如图：      观察图象知，直线与函数的图象有两个交点， 所以使的x有2个值. 故选：B 2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案. 【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标， 故选：B. 3．用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据五点作图法即可选出答案. 【详解】五点作图法在内的五个关键点为，可知不是关键点． 故选：A. 题型3 y=Asinx+B的图象 1．函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点作图法可得出函数，的简图. 【详解】列表： 观察各图象发现A项符合． 故选：A. 2．函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【点睛】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 3．已知,,则的图象 A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向上平移1个单位,得的图象 D．向下平移1个单位,得的图象 【答案】C 【解析】由已知 【详解】解：，其向上平移1个单位即可得到的图像,故C正确, A错误; 的图像与的图像即不相同也不关于y轴对称,故B D错误. 故选: C. 【点睛】本题考查正弦函数的图像，是基础题. 题型4 含绝对值的正弦函数的图象 1．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】   函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 2．已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式分析其性质，结合中对数的函数性质确定函数图象，并将原问题转化为在的交点问题，应用数形结合判断交点的个数即可. 【详解】由题设，对于在上值域为， 1、在上递增，上递减，上递增，上递减；(注意：) 2、，，. 3、由分段函数解析式知：上恒成立，且上递增，上递减，上递增，此时，，(注意：). 对于在上的值域为， 1、在上递减； 2、，. 3、由于，即为偶函数，故在上递增；，. 综上，可得如下图函数图象，在上根等价于在上交点横坐标， ∴由图知：的交点共有5个. 故选：B 3．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则， 因为时，，则， 故， 作出函数图象：    数形结合即可得到， 故选：B. 题型5 正弦函数图象的应用 1．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数a的取值范围； (2)求这两实根之和． 【答案】(1) (2)两实根之和为或 【分析】（1）首先由函数在有且只有两个不同的零点，转化为函数与有两个不同的交点，设，画出的图像，数形结合即可得出的范围． （2）直接根据图象即可求解. 【详解】（1）令，即， 因为函数在区间有且只有两个不同的零点， 所以函数与有两个不同的交点， 设，画出函数在区间上的图象，如图所示， 结合图象可得，或， 解得， （2）由图可知，这两实根之和为或， 所以或 2．（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）将看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得的范围； （2）将方程变形后，把看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得的范围. 【详解】（1）由题意得， 结合正弦函数在上的图象可得，或， 再利用正弦函数的周期性，可得：或，， 解得或， 故满足条件的角x的集合为或 （2）由变形得，， 结合余弦函数在上的图象可得，或， 再利用余弦函数的周期性，可得：或，， 解得或 故满足条件的角x的集合为或. 3．根据下列条件，求角x： (1)； (2)． 【答案】(1)或，． (2)或，． 【分析】（1）结合正弦函数的图象，先考虑一个周期上方程的解，再推广到实数集上； （2）令，结合余弦函数的图象，先考虑一个周期上方程的解，再推广到实数集，并求出即得. 【详解】（1）由，结合在上的图象，可得或， 再考虑正弦函数的周期性，可得，或，. （2）因，令，结合在上的图象，可得或， 再考虑余弦函数的周期性，可得或，， 即或，． 题型6 余弦函数的图象 1．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义判断的对称性，结合x趋向于0时的y变化趋势，即可确定图. 【详解】由且定义域为， 所以函数是奇函数，故排除A、D， 当趋向于且大于0时，趋向于，排除C. 故选：B. 2．直线与函数的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D．无数个 【答案】A 【分析】利用余弦函数的有界性可得结论. 【详解】因为，故直线与函数的图象没有公共点， 故选：A. 3．已知定义在R上的函数满足： ①； ②； ③当时， 则函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数的对称性，然后做出其函数图像，将函数的零点个数转化为函数与的交点个数，结合图像即可得到结果. 【详解】由①可得函数的图像关于对称， 由②可得函数的图像关于直线对称， 然后由，做出函数在的图像如图所示，    再结合其对称性可得函数在区间的图像如图所示，    则函数在区间上的零点个数，即为函数与的交点个数，由图像可知，有4个交点，即4个零点. 故选：B 题型7 五点法画余弦函数的图象 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 3．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 题型8 y=Acosx+B的图象 1．函数满足，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，函数是周期为的周期函数，函数的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数，作出两个函数的图象，观察两个函数图象的交点个数即可. 【详解】函数满足，则函数是周期为的周期函数， 令可得， 函数的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数， 当时，，则，如下图所示： 由于，当时，，此时，函数与函数的图象没有公共点， 由上图可知，函数与函数的图象共有11个交点， 因此，函数的零点个数为11， 故选：B. 2．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示： 根据图像，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦函数的图象平移可得． 【详解】把的图象向上平移1个单位即可. 故选：D 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题． 题型9 含绝对值的余弦函数的图象 1．设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】分析函数的性质，结合幂函数的图象，作出在上的图象，再作出在上的图象，求出两图象的交点个数作答. 【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称， 令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，， 在同一坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，    观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个， 所以函数在区间上零点的个数为7. 故选：D 2．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 3．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果. 【详解】对于A，，图象与重合，A错误； 对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确； 对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误； 对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误. 故选：B. 题型10 余弦函数图象的应用 1．已知点在角的终边上，点在角的终边上，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角函数定义求，由此可得函数解析式； （2）化简可得，解不等式可得结论. 【详解】（1）设O为坐标原点，则，所以， 因为α是第二象限角，β是第三象限角， 所以， ， 所以． （2）因为， 所以化为， 即， 所以， 整理得， 所以不等式的解集为．    2．利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围． 【答案】 【分析】画出正弦函数与余弦函数在的图象，数形结合求出答案. 【详解】在同一坐标系下作出，与，的图象，如下所示：    故且时的取值范围是. 3．已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 【答案】（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3． 【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论的范围根据解析式即可求解； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出. 【详解】（1）的函数图象如下： （2）当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3． 1．求下列函数的最小正周期： (1)，； (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数最小正周期的公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以函数的最小正周期为. 2．已知函数（其中常数）的最小正周期为2，求ω的值. 【答案】 【分析】根据最小正周期公式求解即可. 【详解】因为函数（其中常数）的最小正周期为2， 所以，解得：. 3．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求边. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简,即可由周期公式求得最小值正周期. （2）根据正弦函数的图像与性质,由可求得角.再结合余弦定理,即可求得的值. 【详解】（1）由 由周期公式可得 所以的最小正周期为 （2）由,则 则,解得 由余弦定理,代入可得 解得(负值舍去) 【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数的图像与性质的综合应用,余弦定理解三角形的应用,属于基础题. 4．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 题型1 正弦函数的图象 1．下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．三角函数在区间上的图像为（　　） A． B． C． D． 3．函数，的简图是 A． B． C． D． 题型2 五点法画正弦函数的图象 1．从函数的图象来看，对应于的x有（  ） A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 3．用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 题型3 y=Asinx+B的图象 1．函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知,,则的图象 A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向上平移1个单位,得的图象 D．向下平移1个单位,得的图象 题型4 含绝对值的正弦函数的图象 1．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 正弦函数图象的应用 1．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数a的取值范围； (2)求这两实根之和． 2．（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 3．根据下列条件，求角x： (1)； (2)． 题型6 余弦函数的图象 1．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．直线与函数的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D．无数个 3．已知定义在R上的函数满足： ①； ②； ③当时， 则函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型7 五点法画余弦函数的图象 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 3．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 题型8 y=Acosx+B的图象 1．函数满足，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A． B． C． D． 2．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 题型9 含绝对值的余弦函数的图象 1．设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 3．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型10 余弦函数图象的应用 1．已知点在角的终边上，点在角的终边上，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 2．利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围． 3．已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 1．求下列函数的最小正周期： (1)，； (2)，. 2．已知函数（其中常数）的最小正周期为2，求ω的值. 3．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求边. 4．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 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