4.2.2 等差数列的前n项和公式（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第3课时） 学习目标 1 2 3 理解并能应用等差数列前 项和的性质，培育逻 辑推理、数学运算的核心素养 掌握等差数列前n项和的应用 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 复习回顾 等差数列的前n项和公式的性质 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 性质5 性质6 性质7 性质8 性质9 典例分析 [例8] 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 等差数列的前n项和公式的应用 典例分析 1. 本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. 2. 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. 学以致用 教材P24 1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 典例分析 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析1：由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an<0,Sn递减.这样把求Sn的最大值转化为求{an}的所有的正数项的和。 解法1：(通项公式法) 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 典例分析 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析2 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数，当x=n时函数值。如图，当d<0时，Sn 关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn 的值。 解法2：(二次函数法) 新课探究 问题1 在例9中，当d=ￚ3.5时，Sn有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题. d= ￚ 3.5时，Sn有最大值 追问1 d=2时，Sn有最大值吗？ 有最小值吗？ d=2时，Sn没有最大值， 有最小值S1 追问2 是不是所有的等差数列前n项和的都有最大值或最小值？ 如果有的话，与什么有关？ 如何从函数的角度去分析？ 新课探究 等差数列的前n项和Sn的最值 有最小值S1 有最大值S1 有最大值 有最小值 新课探究 问题2 你能结合例9总结一下等差数列前n项和最值的两种求法吗？ 方法一：通项公式法 ①当a1>0，d<0时， 数列前面有若干项为正, 此时所有非负项的和为Sn的最大值. ②当a1<0，d>0时， 数列前面有若干项为负, 此时所有非正项的和为Sn的最小值. 新课探究 方法二：二次函数法 当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n(n∈N*)时的函数值. 常数列 前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点. 因此，我们可以利用二次函数研究d≠0 时的等差数列前n项和最值。 新课探究 ①当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. 方法二：二次函数法 ②当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 Sn n O 1 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. 学以致用 教材P24 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 学以致用 教材P24 4. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和. 学以致用 教材P24 能力提升 题型一 等差数列前n项和Sn的最值问题 例题 1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 法1: ∴当n=7时，Sn取最大值49. 法2: ∴当n=7时，Sn取最大值49. 能力提升 题型一 等差数列前n项和Sn的最值问题 例题 1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 法3: ∵ S3=S11 ∴当n=7时，Sn取最大值49. 法4: ∴a7+a8=0 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 方法总结 等差数列前n项和Sn的最值的求法 能力提升 能力提升 题型二 数列{}的前 项和 例题 2. 若等差数列{an}的通项公式为an= -2n+11,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解: 设数列{an}的前n项和Sn， ，由 得 ，解得， 又，所以 ， 当 时， ； 当 时， . 综上， （1）确定 的通项公式； （2）求解时， 的取值范围； （3）去掉数列中各项的绝对值，转化为的前 项和求解； （4）将的前 项和写成分段函数的形式. 方法总结 已知等差数列，求的前 项和的步骤 能力提升 课堂小结 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 1. 通项法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项． 大 小 二次函数法：等差数列{an}中，Sn＝An2＋Bn，故可用二次函数的性质或图象的对称性求最值，注意n∈N*． 通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用确定n． 单调性法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用an≥0确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用an≤0确定n． 2. 二次函数法 在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n的值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定． $$