专题05 三角函数（6大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题05 三角函数 考纲解析 · 任意角和弧度制的概念 · 三角函数的概念 · 同角三角函数基本关系式及诱导公式 · 正余弦三角函数的图像及性质 · 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 考点预测 · 弧度制相关计算 · 同角三角函数基本关系 · 诱导公式 · 三角函数图像及性质 要点自测 知识点01 角的概念 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类 　　　　 (3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 考点突破 1．已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 3．集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 知识点02 弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 考点突破 4．是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 6．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 知识点03 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 考点突破 7．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tanα(α≠＋kπ，k∈Z)． 考点突破 10．已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 11．已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 12．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 知识点05 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 考点突破 13．的值为（   ） A． B． C． D． 14．（     ） A． B． C． D． 15．（    ） A． B． C． D． 知识点06 正弦函数与余弦函数的性质 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 考点突破 1．下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 5．若，则（    ） A． B． C． D．1 6．（    ） A． B．0 C． D． 7．命题“对，都有”的否定为（    ） A．对，都有 B．对，都有 C．，使得 D．，使得 8．函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 二、填空题 1．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 . 2．已知角的终边上一点，且，则 . 3．已知，且为第二象限角，则 . 4．函数的周期为 ． 三、解答题 1．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 2．观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 3．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 考纲解析 · 任意角和弧度制的概念 · 三角函数的概念 · 同角三角函数基本关系式及诱导公式 · 正余弦三角函数的图像及性质 · 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 考点预测 · 弧度制相关计算 · 同角三角函数基本关系 · 诱导公式 · 三角函数图像及性质 要点自测 知识点01 角的概念 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类 　　　　 (3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 考点突破 1．已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 【答案】A 【分析】根据余角的定义进行计算即可. 【详解】的余角为. 故选：. 2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 3．集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角的定义与集合所表示的角即可得解. 【详解】因为， 所以集合中的最大负角为. 故选：C. 知识点02 弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 考点突破 4．是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由角的弧度制比较与的大小可得. 【详解】由可得，是第二象限角. 故选：B. 5．下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 6．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度的概念求解. 【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角， 所以分针转动的弧度为. 故选：C. 知识点03 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 考点突破 7．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C 8．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边上有一点的坐标是， ，，， . 故选：D． 9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 知识点04 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tanα(α≠＋kπ，k∈Z)． 考点突破 10．已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数基本公式计算即得. 【详解】由是第一象限角，得，而， 所以. 故选：A 11．已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 12．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】弦化切代入即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 知识点05 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 考点突破 13．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即得. 【详解】因. 故选：A. 14．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合特殊角的余弦值即可求解. 【详解】. 故选：C 15．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式与特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故选：D. 知识点06 正弦函数与余弦函数的性质 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 考点突破 1．下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 2．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 3．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 模拟演练 一、单选题 1．将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边相同的角的概念求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合弧长公式以及扇形面积公式，即可求解． 【详解】因为扇形圆心角，且所对的弧长， 设扇形所在圆的半径为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故选：B. 3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】， 故选：A 4．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 5．若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 6．（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式化简即可. 【详解】因为， 所以 故选：C． 7．命题“对，都有”的否定为（    ） A．对，都有 B．对，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可. 【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，使得. 故选：C. 8．函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用余弦函数的值域算出结果. 【详解】因为， 所以， 所以最小值为， 故选：B 二、填空题 1．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 . 【答案】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 2．已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 3．已知，且为第二象限角，则 . 【答案】 【分析】由同角关系式求解即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以，， 又因为， 即， 解得. 故答案为： 4．函数的周期为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质及函数图象的变换判断即可. 【详解】因为正弦函数的最小正周期为， 的图象是由的图象关于轴翻折，再向上平移一个单位得到， 翻折和平移时周期不变，所以的周期为． 故答案为： 三、解答题 1．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解； （2）根据余弦函数的单调递减区间求解. 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 2．观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】根据图象直接求解即可. 【详解】由图我们发现，区间正好是正弦函数的一个周期， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 3．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求得正确答案. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1）由于点在角α的终边上， 所以. （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$