精品解析：江西省抚州市临川区第七中学 2023——2024学年 八年级上学期第二次月考数学试题

临川七中2023——2024学年度八年级上学期第二次月考 数学试题 一、精心选一选（每小题3分，共18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 函数与（、为常数，且）可能的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若点的坐标是，，且平行于轴，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知实数m＞0，则一次函数y=mx-1图像经过的象限是（　 　） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、用心填一填（每小题3分，共18分） 7. 下列各数：、、、、中是无理数的有______个． 8. 绝对值小于的所有实数的和为______． 9. 已知函数是正比例函数，则_________，_________． 10. 已知和的小数部分分别为和，则_________． 11. 已知是正比例函数的图象上的两点，则____.(填“＞”或“＜”或“=”)． 12. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、解答题（每小题6分） 13. 计算： （1） （2） 14. 已知函数是一次函数， （1）求的值； （2）该一次函数当时，求的取值范围． 15. 《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阅（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图2为图1的平面示意图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点，点到门槛的距离尺（1尺寸），求门槛的长． 16. 请在下边网格在作出个互不全等的直角三角形，并至少有一边是无理数． 17. 已知与成正比例，当时，的值为． （1）求与的函数表达式； （2）若点，是该函数图象上的两点，比较，的大小． 四、解答题（每小题8分） 18. 如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．） 19. 已知点是平面直角坐标系中的点． （1）若点在第四象限的角平分线上，求的值： （2）点到轴的距离与到轴的距离相等，确定点的坐标； （3）若点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点的坐标． 20. 如图，小李同学将大小完全相同的长方形彩纸按照如图所示的方式用胶水连接起来，重合部分的长度为，粘起来的纸条总长度与彩纸张数的关系列表如下． 彩纸张数 1 2 3 … 纸条总长度 40 75 110 … （1）求纸条总长度和彩纸张数之间的函数关系式； （2）若要求粘起来的纸条的总长度为，则需要彩纸的张数是多少？ 五、解答题（每小题9分） 21. 化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：． 22. 一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点． （1）求的值及的解析式； （2）若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标； （3）若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 23. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点时运动结束，设出发的时间为秒． （1）出发2秒时，求的长； （2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分； （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川七中2023——2024学年度八年级上学期第二次月考 数学试题 一、精心选一选（每小题3分，共18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 3. 函数与（、为常数，且）可能的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和正比例函数的图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 若点的坐标是，，且平行于轴，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．根据题意，点与点的横坐标相同，纵坐标有两种情况：在的上方和在下方，分别求解即可． 【详解】解：点的坐标是，，且平行于轴， 点的横坐标为2，纵坐标是或， 点的坐标为或， 故选：D． 5. 已知实数m＞0，则一次函数y=mx-1图像经过的象限是（　 　） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据和 的符号进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数的图像过一、三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图像的性质，应该识记一次函数y=kx+b在k、b符号不同情况下所在的象限． 6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：． 二、用心填一填（每小题3分，共18分） 7. 下列各数：、、、、中是无理数的有______个． 【答案】##两 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可求解，掌握无理数的定义的解题的关键． 【详解】解：下列各数：、、、、中是无理数的有，，共个， 故答案为：． 8. 绝对值小于的所有实数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的意义，根据绝对值的意义可知，绝对值小于所有实数有无数个，且绝对值相等正数和负数正好是一一对应的相反数，由此即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵绝对值小于所有实数有无数个，且绝对值相等的正数和负数正好是一一对应的相反数， ∴绝对值小于所有实数的和为， 故答案为：． 9. 已知函数是正比例函数，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如是常数，的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义列式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， 故答案为：；． 10. 已知和的小数部分分别为和，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小．先估算出的大小，然后求得、的值，最后合并即可． 【详解】解；， ，． ∴，， ．． ， 故答案为：1． 11. 已知是正比例函数的图象上的两点，则____.(填“＞”或“＜”或“=”)． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性即可得． 【详解】正比例函数的增减性为：y随x的增大而增大 点在此函数的图象上，且 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟记性质是解题关键． 12. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、解答题（每小题6分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式是运算法则和性质、零指数幂进行计算，再合并即可； （）利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的定义化简，再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 已知函数是一次函数， （1）求的值； （2）该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【小问1详解】 因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 15. 《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阅（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图2为图1的平面示意图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点，点到门槛的距离尺（1尺寸），求门槛的长． 【答案】的长为寸 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用已知设寸，则寸，进而结合勾股定理得出答案，正确运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 设寸，则寸， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴寸， ∴的长为寸． 16. 请在下边网格在作出个互不全等的直角三角形，并至少有一边是无理数． 【答案】 解：如图，三角形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，无理数，根据勾股定理及逆定理作图即可，掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 【详解】略 17. 已知与成正比例，当时，的值为． （1）求与的函数表达式； （2）若点，是该函数图象上的两点，比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴可设， ∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴． 四、解答题（每小题8分） 18. 如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．） 【答案】学校会受到噪声影响；学校受影响的时间为10秒，理由如下： 如图，过点A作于点B， ∵，， ∴， ∵， ∴学校会受到噪音的影响； 设从点E开始学校学到影响，点F结束，则， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵汽车的速度为， ∴受影响的时间为：． 【解析】 【分析】过点A作于点B，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间． 【详解】略 【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点． 19. 已知点是平面直角坐标系中的点． （1）若点在第四象限的角平分线上，求的值： （2）点到轴的距离与到轴的距离相等，确定点的坐标； （3）若点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． （1）根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答； （2）根据到轴的距离与到轴的距离相等，可得横坐标与纵坐标相等或互为相反数，可得答案； （3）根据第三象限点的坐标特征为，然后列出方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：点在第四象限的角平分线上， ， ； 【小问2详解】 解：点到轴的距离与到轴的距离相等， ， 或 或， 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为； 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9， ， ， ， ． 20. 如图，小李同学将大小完全相同的长方形彩纸按照如图所示的方式用胶水连接起来，重合部分的长度为，粘起来的纸条总长度与彩纸张数的关系列表如下． 彩纸张数 1 2 3 … 纸条总长度 40 75 110 … （1）求纸条总长度和彩纸张数之间的函数关系式； （2）若要求粘起来的纸条的总长度为，则需要彩纸的张数是多少？ 【答案】（1）； （2）需要彩纸的张数是6张． 【解析】 【分析】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键． （1）根据题意和所给图形可得出答案； （2）把代入（1）式时，计算得出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察、分析表格中的数据可知，从增加第2张纸条开始，每增加1张纸条，总长度就增加， 由此即可出：； 【小问2详解】 解：令得：， 解得：． ∴需要彩纸的张数是6张． 五、解答题（每小题9分） 21. 化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴原式 ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 22. 一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点． （1）求的值及的解析式； （2）若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标； （3）若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）．的解析式为； （2）点坐标为或； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及巧妙运动分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题； （3）分类讨论即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得． 则点坐标为． 令的解析式为， 将点坐标代入得， ， 解得， 所以的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得， ， 所以点坐标为． 又， 故． 又， 所以． 又， 则， 所以， 又点坐标为， 所以点坐标为或； 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为， 在中， ． 当点为等腰三角形的顶点时， ， 所以点的坐标为或． 当点为等腰三角形的顶点时， ， 又， 所以， 故点坐标为． 当为等腰三角形的顶点时， ， 则点在的垂直平分线上， 连接， 在中， ， 即， 解得， 所以点坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 23. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点时运动结束，设出发的时间为秒． （1）出发2秒时，求的长； （2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分； （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1）； （2）点Q在边上运动时，不可能把的周长平分； （3）当t的值为秒或6秒或秒时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出，再求出和，根据勾股定理即可求得的长； （2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论； （3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得t；②当时（图2），则，易求得t；③当时（图3），过B点作于点E，则求出，，即可得出t． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， 根据题意得：，，， 若能把的周长平分，则， 即， 解得：， 此时， ∴不合题意， ∴点Q在边上运动时，不可能把的周长平分； 【小问3详解】 解：①当时，如图1所示 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时，如图2所示： 则， ∴（秒）； ③当时，如图3所示： 过B点作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 由上可知，当t的值为秒或6秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质、一元一次方程的应用，注意方程思想、分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $