精品解析：江西省抚州市临川区第七中学 2023——2024学年 九年级上学期第二次月考数学试题

临川比中2023-2024学年度九年级上学期第二次月考 教学试题 一、精心选一选（每小题3分，共18分） 1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：、平行四边形的对边平行且相等，所以选项错误； 、平行四边形的对角线互相平分，所以选项错误； 、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以选项正确； 、平行四边形的邻角互补，所以选项错误． 故选：． 2. 用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法的过程．根据解题步骤判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的面积等于（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 24或8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键． 解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ， ， 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： 当时，，不能构成三角形； ②当时，， 如图， ∴， 在中，， ∴， 菱形的面积． 故选：． 4. 已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：当AC＜BC时， ∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴， 同理当AC＞BC时，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 5. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、用心填一填（每小题3分，共18分） 7. 从，，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，，则一次函数的图象不经过第一象限的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当时，一次函数的图象不经过第一象限，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，当时，一次函数的图象不经过第一象限， 列表如下； 1 2 1 2 共有种等可能的结果，其中一次函数的图象不经过第一象限共有2种等可能的结果， ∴一次函数的图象不经过第一象限的概率是， 故答案为：． 8. 若的两根分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，再由根与系数的关系得到，最后根据进行求解即可． 【详解】解：∵的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC． ∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°． ∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC． 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE． ∴，即． ∴． 10. 把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意画出图形，根据相似多边形的性质解答即可，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形，则四边形四边形， ∵四边形四边形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴大矩形与小矩形的相似比为， 故答案为：． 11. 身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据同一时刻平行光线下，物长和影长成正比，列出比例式即可求解，掌握平行投影的性质是解题的关键． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得，， 解得， ∴旗杆高度为， 故答案为：． 12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题（每小题6分） 13. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2） （公式法）． 【答案】（1）＝2＋，＝2－ （2）＝－1，＝－2 【解析】 【分析】（1）先把2移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． （2）先求出∆的值，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴＝2＋，＝2－． 【小问2详解】 ∵ ∴a=1，b=3，c=2， ∴∆=9-8=1， ∴， ∴＝－1，＝－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 14. 如图，正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，进而得，，再利用勾股定理可得，最后根据求出即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 15. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 16. 在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； （1）在图中将绕点逆时针旋转； （2）在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（）连接相交于点，连接并延长交于，可得点为的中点，连接交的延长线于点，连接，易证明，得到，进而可证明，即得，得到，故得为绕点逆时针旋转得到； （）连接交于点，连接与相交于点，连接并延长交于点，连接，得到四边形，由正方形的对称性可得，进而可得，即可证明，得到，进而可得，即可得四边形为正方形； 本题考查了作旋转变换的图形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 小明和小刚做摸纸牌游戏，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是和，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】 解：游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中数字之积为奇数的有种，数字之积为偶数的有种， ∴，， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性，利用树状图法求出小明和小刚获胜的概率即可判断求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】略 四、解答题（每小题8分） 18. 小龙的妈妈把每件进价为元的水果盘以每件元的售价卖出，每星期可卖出件；现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件；为占有市场份额，在确保盈利的前提下，售价多少元时，每星期盈利为元． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价元时，每星期盈利为元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设售价元时，每星期盈利为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低， ∴， 答：售价元时，每星期盈利为元． 19. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式；当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （2）当花圃的面积为时，长为多少米？ 【答案】（1）当的长为10米时，所围成的花圃面积最大，最大值为200平方米；（2）的长为15米. 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；利用配方法得到y-2（x-10）2+200，根据偶次方的非负性可得答案，注意x的取值范围； （2）根据（1）中的关系，令y=150，可以求得AB的长. 【详解】解：由题意知： ∴ ∵即 ∵∴当时，最大为200. 答：当的长为10米时，所围成的花圃面积最大，最大值为200平方米. （2）当时， ，（舍去） 答：的长为15米. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 20. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 【答案】当为 或 时，与相似． 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，由题意得，，，则，分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：在△中，，，， ， 由题意得，，， ， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， ， 当为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 五、解答题（每小题9分） 21. 正方形的边长为4，是上的一个动点，过点作，交的延长线于点，交对角线所在的直线于点，交于点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，的面积为1； （3）随着点在射线上的运动，的值是否会发生变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，=90°， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）2；（3）不变，16 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和余角的性质可得∠FDA=∠CDE，进一步即可证明，进而得出结论； （2）利用平行线分线段成比例定理得出比例式表示出AF边上的高，即可得出结论； （3）先判断出△FAM≌△EIM，得出ME=FM，再证明△AND∽△CDM，进一步利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）过点作于点， ∵， ∴， 设，则FG=x+h，FB=4+x，BE=4－x， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴当=2时，的面积为1； （3）不变，作，交于点，连接．则为等腰， ∵∠EIC=∠ECI=45°， ∴CE=IE， ∵FA=CE， ∴FA=EI， ∵EI∥FA， ∴∠IEM=∠AFM，∠EIM=∠FAM， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，作出辅助线构造相似三角形是解本题的关键． 22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，连接．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）直接用含的代数式分别表示：______，______． （2）是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． 【答案】（1）， （2）不存在的值，使四边形为菱形．当点的速度为每秒个单位时，经过秒，四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先勾股定理求出根据，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动可直接得出的长，再根据，可知，故，由此可用表示出的长； （2）再由得出，可用表示出及的长，再由可知当时，四边形是平行四边形，即，解得．故可得出，即四边形不能为菱形；设点的速度为每秒个单位长度．则，，．要使四边形是菱形，则．再分，两种情况即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∵动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动， ，； ，， ， ，即，即． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：不存在． 由⑴得， ， ， ，即， ． ． ， 当时，四边形是平行四边形，即，解得． 当时，，． ． 四边形不能为菱形． 设点的速度为每秒个单位长度． 则，，． 要使四边形是菱形，则． 当，即．解得． 当，时，即，解得． 当点的速度为每秒个单位时，经过秒，四边形是菱形． 【点睛】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，第⑵问要分，两种情况进行讨论． 六、解答题 23. 在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，其中点、分别在轴和轴上，点为轴负半轴上一动点，点为轴正半轴上一动点，且． （1）求证：； （2）随着点的变化，探求的面积是否发生变化？如果的面积不变，求出的面积；如果面积发生变化，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1） 四边形是边长为1的正方形， ，． ， ． ，且， ， ． ， ； （2）的面积不发生变化， （3），，，． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，在解答的过程中证明三角形相似是关键． （1）由四边形是边长为1的正方形可以得出，由可以得出，再根据条件可以得出，从而可以得出； （2）由（1）的结论可以得出，可以得出，根据正方形的性质可以得出，从而可以得出是定值，可以得出的值； （3）分三种情况讨论：当，，时，根据等腰三角形的性质就可以求出点的坐标． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：的面积不发生变化． 理由：， ． ． ，在中，由勾股定理，得， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：设，， ，， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ． ， ， ， 当，即时， ， ， ， ， ， ， ， ， 或， 解得：， ； 当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， ，， 当时， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 点的坐标为：，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川比中2023-2024学年度九年级上学期第二次月考 教学试题 一、精心选一选（每小题3分，共18分） 1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻角互补 2. 用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的面积等于（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 24或8 4. 已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、用心填一填（每小题3分，共18分） 7. 从，，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，，则一次函数的图象不经过第一象限的概率是______． 8. 若的两根分别为，，则______． 9. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 10. 把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是______． 11. 身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为______． 12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题（每小题6分） 13. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2） （公式法）． 14. 如图，正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点，若，求的长． 15. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 16. 在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； （1）在图中将绕点逆时针旋转； （2）在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 17. 小明和小刚做摸纸牌游戏，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是和，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 四、解答题（每小题8分） 18. 小龙的妈妈把每件进价为元的水果盘以每件元的售价卖出，每星期可卖出件；现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件；为占有市场份额，在确保盈利的前提下，售价多少元时，每星期盈利为元． 19. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式；当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （2）当花圃的面积为时，长为多少米？ 20. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 五、解答题（每小题9分） 21. 正方形的边长为4，是上的一个动点，过点作，交的延长线于点，交对角线所在的直线于点，交于点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，的面积为1； （3）随着点在射线上的运动，的值是否会发生变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由． 22. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，过点作，交于点，连接．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）直接用含的代数式分别表示：______，______． （2）是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． 六、解答题 23. 在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，其中点、分别在轴和轴上，点为轴负半轴上一动点，点为轴正半轴上一动点，且． （1）求证：； （2）随着点的变化，探求的面积是否发生变化？如果的面积不变，求出的面积；如果面积发生变化，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $