期中模拟卷（基础卷）（考试范围：集合+逻辑语言+不等式+函数）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．4个 B．7个 C．15个 D．16个 3．已知，，，则“”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且，那么（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．下列各组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．设，，，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设函数，若，则 ． 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 14．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 16．已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 17．若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 18．已知，且. (1)求的最大值与最小值； (2)证明：. 19．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 2．设集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．4个 B．7个 C．15个 D．16个 【答案】C 【详解】由和可知的值可能为6、3、2、1，相应的的值为， 所以，所以集合A的真子集个数为个． 故选：C. 3．已知，，，则“”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，得，a，b，c不能构成三角形的三边长， 若a，b，c是某三角形的三边长，则有， 所以“”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知, 令，可知为奇函数， 所以，所以，‘ 又，所以. 故选：A 5．已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 又因为，所以， 所以的解析式为：. 故选：B. 6．若关于x的不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知开口向下， 所以，的两个根为， 所以由，，所以， 所以函数， 因为，所以函数开口向上，两个根为或， 故选：B 7．已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，， 而函数是偶函数，所以有， 所以， 所以的周期为4， 则， ． 当时，， 因为在上均为增函数， 所以在上为增函数，又， 所以， 即， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键. 8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，， 故， 令，故在上单调递减， 其中定义域为， 又在上为奇函数， 故， 所以在上为偶函数， 当，即时， ， 即，， 故， 又，故， 解得或， 与求交集得到空集； 当即时， ， 即，， 故， 又，故，解得或， 与取交集得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．下列各组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D， 的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：BD. 10．设，，，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，故，当且仅当时取等号， 即的最小值，故B不正确； 对于C，， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，，故， 当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误. 故选：AC 11．已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】令，可得，故A项正确； 令，可得，令， 可得，则，故B项正确； 由， 可得， 令，则， 令，可得， 令，则， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设函数，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，当时，，此时方程无解； 当时，，解得或（舍） 故答案为： 13．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，满足，此时，故； 当时，由，，， 可得或， 所以或， 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意知，时，恒成立． 所以时，恒成立，即恒成立． 由于时，的最大值为0，最小值为， 因此，，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 当时，则有， 解得； 当时，则有， 解得； 综上所诉：实数m的取值范围为. （2）若，则有 当时，则有， 解得； 当时或 得或， 综上所诉：实数m取值范围为. 16．已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当为真命题时，，解得， 当为真命题时，， 故的取值范围为. （2）当为真命题，为假命题时，得， 当为假命题，为真命题时，得， 故的取值范围为或. 17．若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 (3) 【详解】（1）函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数. （2）任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. （3）由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 18．已知，且. (1)求的最大值与最小值； (2)证明：. 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)证明见解析. 【详解】（1）因，由均值不等式， . 则， 注意到函数在上单调递减，在上单调递增. 得. 即时，有最小值； 时，有最大值； （2）由均值不等式，，当且仅当时取等号. 又由（1），，当且仅当时取等号. 注意到前后取等条件不一致，则. 19．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的最小值为0 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或 当时，在定义域上不为增函数， 当时，在为增函数， 所以． （2），令，因为，所以， 则令，，对称轴为． ①当，即时，函数在上为增函数， ，解得满足题意． ②当，即时，在上递减，在上递增， 所以， 解得，不符合题意，舍去． ③当，即时，函数在上为减函数， ， 解得．不符合题意，舍去． 综上所述：存在使得的最小值为0． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$