精品解析：河北省衡水市武强中学2025届高三上学期期中考试数学试题

武强中学2024-2025学年度上学期期中考试 高三数学试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若角为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x的方程的一个根，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 8. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 11. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 13. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______. 14. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，面积为S，且. （1）求B； （2）若，，D为边的中点，求的长. 16. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 17. 已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围； （2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 19. 基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题． （1）已知，R，证明； （2）已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件； （3）已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件. （4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题： ①已知，证明：； ②已知，，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2024-2025学年度上学期期中考试 高三数学试题 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案. 【详解】由题意得，又因为，所以， 所以， 故选：C. 2. 若角为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，又角为第二象限角， 解得. 故选：B 3. 已知是关于x的方程的一个根，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是关于x的方程的一个根，， 所以是关于x的方程的一个根， 于是有， 故选：D 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算和，再根据和角公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 6. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 7. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 8. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，每段递增且保证分界点处满足递增函数的要求即可得解. 【详解】当时，单调递增且值域为， 而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可. 【详解】易知，其最小正周期为， 所以，即，显然，故A正确； 令， 显然区间不是区间的子区间，故B错误； 令，则是的一个对称中心，故C正确； 将的图象向右平移个单位得到 ， 故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对应求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D. 【详解】由题设， 令，则或，令，则， 所以、上递增，上递减， 故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确； 在上，在上递减，在上递增，而， 所以在上的最大值为，D正确. 故选：BD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，即. 故答案为：. 13. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 14. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【详解】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，面积为S，且. （1）求B； （2）若，，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理先求c，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可. 【小问1详解】 由三角形面积公式及条件可知：， 由余弦定理知， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 结合（1）的结论，根据余弦定理有， 所以，易知， 所以， 即. 16. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】 因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 17. 已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围； （2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大值，最大值为e 【解析】 【分析】（1）求导，得到恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围； （2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在R上单调递减，所以恒成立， 所以，，所以a的取值范围是． 【小问2详解】 当时，，， 令，解得，令，解得， 所以当时，单调递增，当，时，单调递减， 当时，， 又时，， 所以有最大值，最大值为e． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 19. 基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题． （1）已知，R，证明； （2）已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件； （3）已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件. （4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题： ①已知，证明：； ②已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：由可知，，当且仅当时取“” ， 所以. （2）证明：因为， 由（1）可得，当且仅当时取“”， 则， 所以，当且仅当时取“”. （3）证明：当，，，时， 因为， 由（1）可得，当且仅当时取“” 则， 所以，当且仅当时取“”. （4）①证明：由（2）可知，当且仅当时取“”， 即，所以 ②. 【解析】 【分析】（1）由展开即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析证明； （3）根据题意结合（1）中结论分析证明； （4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①略 ②因为， 由（3）可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $