概率专练-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时十六 知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概率公式求概率 典例1、《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下． （1）请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差． （2）若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润． ①将y表示为x的函数； ②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率． 随堂练习：新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人. （1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数； （2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）； （3）为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率. 典例2、2022年4月16日上午9：57神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利返回地面．半年内，航天员们顺利完成了两次出舱任务，两次“天空课堂”讲课，还组织了天宫画展、春节跨年以及迎元宵活动，为全国观众留下了深刻印象，也掀起了一股航天热．邢台市某中学航天爱好者协会为了解学生对航天知识的掌握程度，对该校高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息： 等级 E D C B A 成绩 高一人数 1 2 3 4 10 高二频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25 （1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ （2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和期望． 随堂练习：高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率； （2）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望． 典例3、为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数 （2）求参赛同学初赛成绩的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．（写出求解步骤） 随堂练习：《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率； （2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数； （3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率． 知识点二 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点 典例4、2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重（单位：）与身高（单位：）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 166 173 185 183 178 180 174 体重 57 62 78 75 71 67 59 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为． （1）求； （2）已知，且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时， 回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（的结果保留到小数点后两位） 参考数据：． 随堂练习：某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进行整理得到了第年与年销售量（单位：万件）之间的关系如下表： 第年 销售量（万件） （1）在图中画出表中数据的散点图； （2）根据（1）中的散点图选择用于拟合与的回归模型，并用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，预测第年的销售量． （参考数据：，） 典例5、为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）． 1、若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率． 2、估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） 3、根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以（2）中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y， 求． 附：若，则．． 随堂练习：《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数 （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，]. （3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值. 2025高考--概率（一轮复习）课时十六答案 典例1、答案： （1）；. （2）①；②. 解：（1）， , （2）①当，且时，万元； 当，且时，万元， 所以， ②，，，所以， 当时，万元， 当时，由得， 故当万元时，， 综上所述：， 所以. 所以估计且y不少于68万元的概率为. 随堂练习：答案： （1），1200人 （2）中位数为82.9，平均数为80.7 （3） 解：（1）由频率分布直方图知 即，解得 设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为1200人； （2）因为， 所以中位数位于区间，设中位数为，则， 解得：，所以中位数为82.9， 所以估计本次考试成绩的中位数为82.9. 由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25， 所以，设平均数为， 则. 所以所以估计本次考试成绩的平均数为. （3）用分层抽样的方法应该从评分在抽出2人，记编号为1，2， 从评分在抽出4人，记编号为3，4，5，6，. 则样本空间为Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}， {2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}}． 用A表示抽出的2人恰好来自于评分在，则A={{1，2} }． 所以选出的两人恰好都是评分在之间的概率为. 典例2、答案： （1）； （2）分布列见解析；期望为1. 解：（1）从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率， 从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率为， 因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率为． （2）由题意可知，随机变量的可能取值有，，，． 则，， ，， ． 所以，随机变量的分布列如下表所示： ． 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为 解：（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件， “从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件, 由于事 件、相互独立，且， 所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为. （2）由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以随机变量的数学期望 . 典例3、答案： （1），； （2） （3） 解：（1）因为个体在区间内的频率是， 所以频数 在内的频率是， 所以频数 （2）平均数为； （3）由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、， 则事件的总体是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，，共个基本事件， 所以. 随堂练习：答案： （1） （2）平均数；中位数 （3） 解：（1）由频率分布直方图可知：被采访人恰好在第2组或第6组的概率 （2）设平均数为,则 （3）设中位数为，则 ∴中位数 共人，其中男生3人，设为，，，女生三人，设为，，， 则任选2人，基本事件有，，，，，，，，，，，，共15种， 其中两个全是男生的有，，共3种情况， 设事件：至少有1名女性， 则至少有1名女性市民的概率 典例4、答案： （1）； （2）该线性回归方程的拟合效果是良好的. 解：（1）由题意可得，，， 又关于的线性回归方程为，所以 （2）由题意， 所以， 所以该线性回归方程的拟合效果是良好的. 随堂练习：答案： （1）散点图见解析 （2）可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 （3）回归方程为；第年销售量的预测值为万件 解：（1）作出散点图，如图所示， （2）由（1）中的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近， 根据题中所给表格及参考数据可得：，，， ，，，， ； 与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当强， 可以用线性回归模型拟合与的关系． 设关于的回归直线方程为：， ，， 关于的回归直线方程为：， （3）当时，，预测第年的销售量约为万件. 典例5、答案： （1） （2） （3） 解：（1）由频率分布直方图可得， 解得， 所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为． （2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为：． （3）由（2）知，所以， 所以该校男生短跑成绩在以外的概率为： 根据题意， 所以． 随堂练习：答案： （1）70 （2）0.8186 （3）分布列见解析 解：（1）由频率分布直方图可知，. （2）由题意可知，样本方差，故，所以， 该厂生产的产品为正品的概率：. （3）X所有可能值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以的分布列为 数学期望. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$