1.2 二次函数的图象与性质 第1课时课件-2023-2024学年湘教版数学九年级下册

1.2 二次函数的图象与性质（1） 情境引入 函数定义为:“如果某些变量以某一种方式依赖于另外的变量，即当后面的变量变化时，前面的变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.” 瑞士数学家 欧拉 情境引入 一起欣赏生活中“曲线” 图2 图1 温故 问题1：生活中有很多的简单实际问题体现了变量之间的数量关系和变化规律，我们学习过的函数模型有哪些呢？ 问题2 ：你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 作图步骤：列表、描点、连线 引新 问题3：如何画出二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象呢？ 由易到难 形如y=ax²(a>0)的二次函数的图象和性质 由特殊到一般 探究1 画出y=x²的图象. 问:自变量x的取值范围是什么？ 自变量x可以是任意实数. x可取0和一些互为相反数的数. 二次函数 y=ax²(a>0)的图象 1.列表 2.描点 3.连线 探究1 作图 问：下面二次函数 y=x²的图象是否正确？ 图2 图1 探究2 二次函数y=x²的性质 从数与形分析 1.图象开口向上 2.图象与对称轴的交点为(0,0)，叫做抛物线的顶点； 3.当x<0时，y随x的增大而减小， 简称“左降”； 4.当x=0时，函数值最小值为0． 当x>0时，y随x的增大而增大； 简称“右升”； ，关于y轴对称； 探究2 二次函数y=ax² (a>0)的性质 y=ax²(a>0) 文字语言 符号语言 图象 抛物线 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点 原点 （0,0） 最值 最小值 当x=0时，y为0 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当x1<x2<0时,y1>y2； 当0<x1<x2时,y1<y2 开口大小 a越大，开口越小 探究3 利用对称性画二次函数y=x² 图象 1.列表 2.描点 3.连线 作法： 1.列表，描点和连线，画出图象在y轴右边的部分； 2.利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点； 3.用光滑曲线把各点顺次连接起来. y=x² 尝试 例1 画二次函数 y= x²的图象. 列表： 描点、连线 变式 1.根据二次函数y=6x²的图象和性质，请填空. (1)图象的开口向 ； (2)图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是 ； (3)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 . 上 y轴 （0,0） 减小 增大 变式 2.已知点(-1，y1 )，(-3, y2)都在函数y=x²的图象上， 则y1 y2.（比较大小） 解法1：直接代数值计算。将-1，-3分别带入函数解析式，求出y1=1 ，y2=9，所以y1 <y2 < 解法2：根据增减性。已知的两点在对称轴的左侧，因为-1>-3，所以y1 <y2 解法3：根据图象法。大致画出函数图象，找到横坐标分别为-1，-3的两个点，直接比较纵坐标的大小。由图可知y1 <y2 -1 -3 y1 y2 变式 3.如图，请观察二次函数的图象，判断二次项系数a1， a2，a3的大小. 由图象可知，开口向上， ∴所以a1，a2，a3大于0 ∵当a>0时，a越大，开口越小 ∴ a1 > a2 > a3 变式 4.已知 是二次函数，且当x>0时， y随x的增大而增大，则k = . 又当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 则有 解得k=2 2 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0， x的指数等于2. 提升 二次函数y=ax² (a>0) 图象（抛物线） 性质 作法（利用对称性作图） 提升 二次函数y=ax² (a>0)的性质 y=ax²(a>0) 文字语言 符号语言 图象 抛物线 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点 原点 （0,0） 最值 最小值 当x=0时，y为0 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当x1<x2<0时,y1>y2； 当0<x1<x2时,y1<y2 开口大小 a越大，开口越小 课后作业 1.基础题（课本第7页练习2） 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=3x²及y=x²的图象，并比较 它们的共同点与不同点. 2.提升题（课本第19页B组第8题） 在二次函数y =x²的图象上任取一点P（a，a²）. （1）点P关于y轴的对称点Q的坐标是什么？ （2）点P关于y轴的对称点Q在y=x²的图象上吗？为什么？ （3）从第（2）小题的结论得出，y=x²的图象关于哪条直线对称？ 3.个性化设计题 请观察二次函数y=ax²(a＞0)的图象，自主探究得出相关结论. 比如：图象上的点到对称轴的距离越 （填“大”或“小”）， 则对应的函数值越 （填“大”或“小”）. 同学们再见！ $$