1.1二次函数 课件 2023-2024学年湘教版数学九年级下册

1.1 二次函数 图片欣赏 图片欣赏 图片欣赏 图片欣赏 知识窗口 函数 数量关系 刻画 数学模型 变化规律 现实世界 问题探究 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图所示，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为 x（m），那么矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间有何关系？ 分析： x m x m （ 100-2x ）m 解得： 0 < x < 50. x >0 100-2x>0 问题探究 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图所示，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为 x（m），那么矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间有何关系？ x m x m （ 100-2x ）m 分析： 矩形的面积=长×宽 S = x ( 100 - 2x )，0 < x < 50. 即 S = -2x2 + 100x，0 < x < 50.① 对于 x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数. 问题探究 问题2：某型号笔记本电脑两年前的销售价为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，怎样用x来表示该型号电脑求现在的售价 y（元）？ 分析： 两年前的价格 元， 6000 一年前的价格 元， 现在的价格 ,0 < x < 1 即： y=6000x2 -12000x+6000 ,0 < x < 1.② 6000(1-x) y=6000(1-x)² 对于 x 的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即 y 是 x 的函数. 观察与思考 ①、②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ 特点: ①含自变量的代数式是整式 ②自变量的最高次数是二次 S = -2x2 + 100x，0 < x < 50.① y=6000x2 -12000x+6000 ,0 < x < 1.② 知识要点 二次函数 一次函数 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a≠0） y=kx+b （k,b是常数，k≠0） 知识要点 像①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数。 y=ax2 + bx + c (a，b，c 是常数，a ≠ 0). 二次函数的概念 二次函数的一般形式 其中x是自变量、a 为二次项系数、b 为一次项系数、 c 为常数项。 小试牛刀 例1.判断下列函数是否为二次函数？ 解： × √ 自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是2 不是整式 × × 整理得：y=x²-6x+9-x²=-6x+9 二次项系数为3， 一次项系数为0，常数项为-1. ,是一次函数 解： 整理得：y=3x²-21x+30 二次项系数为3， 一次项系数为-21，常数项为30. √ 缺少二次项系数a≠0的条件 × ,是二次函数 方法点拨 判断一个函数是否为二次函数的步骤: (1)将函数化为一般形式.； (2)含自变量的代数式是否是整式； (3)自变量的最高次数是否是2次； (4)二次项系数是否不等于0. 思维拓展 例2. 关于x的函数 是二次函数, 求m的值. 解: 由二次函数的定义得: 解题反思：此类型题考查二次函数的概念，要抓住自变量最高次数为2及二次项系数不为0这两个关键条件. ∴m的值为3. =2 ≠0 ① ② 解①得: 解②得: 典例精析 例3. 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、 宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x（cm）的正方形，求余下面积 S（cm²）与 x 之间的函数表达式. 分析： x >0 0 < x 0. 解得： 【教材P3】 2x ≤ 80 典例精析 例3. 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、 宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x（cm）的正方形，求余下面积 S（cm²）与 x 之间的函数表达式. 【教材P3】 分析： 木板余下面积 = 矩形面积 - 截去面积. 余下面积 （cm²） S 矩形面积 （cm²） 120×80 截去面积 （cm²） 4x² 解: 木板余下面积 S 与截去正方形边长 x 有如下函数关系： S = 120×80 - 4x2 = - 4x2 + 9 600 ， 0 ＜ x ≤ 40 . 方法点拨 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤: (1)审清题意，根据题意假设变量； (2)找出数量关系，列出等式； (3)整理为函数解析式，同时写出自变量的取值范围。 注意：二次函数的自变量取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量取值范围会有一些限制。 课堂练习 写出下列函数的表达式， 并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数。 【教材P3】 （1）正方形的面积 S 关于它的边长 x 的函数 （2）圆的周长 C 关于它的半径 r 的函数； （3）圆的面积 S 关于它的半径 r 的函数； （4）当菱形的面积 S 一定时， 它的一条对角线的长度 y 关于另一条对角线的长度 x 的函数． S = x2 ,二次函数 C = 2πr ,一次函数 S = πr2 ,二次函数 , 反比例函数 课堂小结 二次 函数 定义 ①二次函数的识别； ②确定二次函数中待定字母的取值； 应用 y=ax2 + bx + c a,b,c是常数，其中(a ≠ 0) 根据实际问题建立二次函数模型 课堂作业 必做题： 课本P4页 习题1.1节A组第1、2、3题，B组第4题. 选做题： 已知 是关于 x的二次函数是二次函数, 求出它的解析式？ 同学们，再见！ $$