3.3.2 抛物线的简单几何性质教案-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 教案 学习目标 1.掌握抛物线的简单几何性质； 2.了解抛物线几何性质的简单应用； 3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同. 学习重难点 学习重点：抛物线的简单几何性质 学习难点：抛物线几何性质的简单应用 新课学习 下面，我们根据抛物线的标准方程 （1） 来研究它的一些几何性质. 一.范围 在方程(1)中，因为，，所以抛物线(1)上的点的横坐标都满足.于是，抛物线在y轴的右侧，并且向右无限延伸.当x的值增大时，也增大，说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸. 二.对称性 在标准方程中，将y换成-y，方程(1)不变，说明这条抛物线关于x轴对称，x轴是它的对称轴. 每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴. 三.顶点 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点.在方程(1)中，当时，，因此，抛物线(1)的顶点为坐标原点. 四.离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，用e表示.由定义可知，. 例3 已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，求该抛物线的标准方程. 解：由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，因此可设它的标准方程为 将点的坐标代入方程中，得 即 因此，所求抛物线的标准方程为. 例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求. 解：（方法一）设，. 由已知可得直线l的方程为. （1） 又抛物线的焦点坐标为，故抛物线的方程为 （2） 联立(1)、(2)，消去y可得 （3） 由一元二次方程的根与系数的关系得 ， 于是 (方法二) 如图.设，.过A，B分別向准线作垂线，垂足为，. 由抛物线的定义可知， ， 于是 由方法一中的方程(3)可知 于是 例5 已知抛物线C：，直线l过定点.讨论直线l与抛物线的公共点的情况. 分析：用解析法解决这个问题，首先要考虑直线l的斜率是否存在，进而根据直线l过定点设出直线方程，并讨论由直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况，就可以判断直线l与抛物线的位置关系. 解：(I)若直线l的斜率存在，记为k.又直线过定点，可设直线l的方程为 （1） 由方程组 （2） 消去y，并整理得 （3） （1）当时，由方程(3)得.代人方程（1），得. 这时，直线l与抛物线只有一个公共点. （2）当时，方程（3）的判别式 若，解得. 于是，当，且时，方程（3）有两个不相等的实数解，从而方程组（2）有两组实数解.这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点. 若，解得. 于是，当时，方程（3）有两个相等的实数解，从而方程组（2）只有一组实数解. 这时，直线l与抛物线有一个公共点. 若，解得. 于是，当时，方程（3）无实数解，从而方程组（2）无实数解.这时，直线l与抛物线没有公共点. (II)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线相切，即有一个公共点. 综上可得： 当，或，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当，且时，直线l与抛物线有两个公共点； 当时，直线l与抛物线没有公共点. 直线l与抛物线C的位置关系如图所示. 课堂巩固 1.已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若直线l过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为4，则( ) A.12 B.14 C.16 D.18 3.已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( ) A.7 B.6 C.5 D.4 4.已知直线与抛物线交于A，B两点，且，则C的方程为( ) A. B. C. D. 5.抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为( ) A.5 B.9 C.8 D.10 6.抛物线关于直线对称的抛物线的准线方程是__________. 7.直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是_________________. 课堂总结 3.3.2 抛物线的简单几何性质 1.范围：抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性：抛物线关于x轴对称，x轴是它的对称轴.每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴. 3.顶点：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点.在方程中，抛物线的顶点为坐标原点. 4.离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，用e表示.由定义可知，. 答案以及解析 1.答案：B 解析：方法一：由题意知，抛物线的准线方程为，设，所以，得，所以轴.由抛物线的对称性得. 方法二：由题意知.因为过抛物线焦点的弦满足，且，所以，解得. 2.答案：C 解析：抛物线的焦点为，设，，则，，两式相减得，即，所以直线方程为，与抛物线方程联立得，所以，，所以. 3.答案：D 解析：因为抛物线的焦点为，准线方程为.点M在C上，所以M到准线的距离为.又M到直线的距离为5，所以，故4，故选D. 4.答案：C 解析：设，，把l与C的方程联立，得，消去y并整理，得，可得.观察可知l经过C的焦点， ，，C的方程为. 5.答案：B 解析：由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故选:B. 6.答案： 解析：抛物线的标准方程为， 其准线方程为.直线关于对称的直线的方程为， 所求的抛物线的准线方程为. 7.答案：2 解析：设抛物线上的动点P的坐标为，它到到直线和的距离之和为d， 则， 当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$