江苏省苏州市2024-2025学年七年级上学期 期中考试 数学定心卷

2024 年期中考试初一数学定心卷 1. 按照如图所示的计算程序，若 x = 3，则输出的结果是 ( ) A. 1 B. 9 C. - 71 D. - 81 2. 如图，数轴上点A 和点B 分别表示数 a 和 b，则下列式子正确的是 ( ) A. a > 0 B. ab < 0 C. a -b > 0 D. a + b > 0 3. 如图，数轴上的点A 所表示的数为 a，化简 |a| -|a - 3| 的结果为 ( ) A. - 2a - 3 B. - 3 C. - 2a + 3 D. 3 4. 如图，正方形ABCD 的边长为 1，电子蚂蚁P 从点A 以 1 个单位/ 秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子 蚂蚁 Q 从点A 以 3 个单位/ 秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P 和 Q 第 423 次相遇在 ( ) A. 点A B. 点B C. 点 C D. 点D 5. 计算：0.125 + 2 + (-2 6. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的 7 个数 (如阴影部分所示)，这 7 个数的和可能是下列 选项：① 55，② 70，③ 84，④ 105，⑤ 140 中的 (填写序号) . 初一数学 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 7. 下列各组中的两个单项式不是同类项的是 ( ) A. 2x2y 与 3yx2 B. x3 与 3x C. 2x2y3z 与 -zy3x2 D. 1 与 -8 8. 已知m = ，且 abc > 0，a + b + c = 0 ．则m = . 9. 大于 1 的正整数 k 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23 = 3 + 5，33 = 7 + 9 + 11，43 = 13 + 15 + 17 + 19，53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29，⋯,按照这样的规律，若 k3 分裂后，其中有一个奇数是 2859，则 k 的值是 . 10. 如果M是四次多项式，N是三次多项式，那么M +N一定是 ( ) A. 七次多项式 B. 次数不高于四次的整式 C. 四次的整式 D. 四次多项式 11. 数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有 a 张扑克牌 (假定 a 足够 大)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出 2 张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出 3 张扑克牌给亮亮；第 三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的 变化情况正确的是 ( ) A. a → a + 2 → a + 3 → 1 B. a → a + 2 → a + 5 → 3 C. a → a + 2 → a + 5 → 2a + 3 D. a → a + 2 → a + 5 → 7 12. 响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成 A、B、C 三个区域来种植 三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸 发现粗心的复兴将 A 区 20% 的面积划分给了 B 区，而原B 区 50% 的面积错划分给了A 区，C 区面积未出错， 造成现 B 区的面积占 A、B 两区面积和的比例达到了 40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将 C 区 面积的 40% 分成两部分划分给现在的 A 区和B 区．爸爸划分完后，A、B、C 三个区域的面积比变为 1:2:3，那 么爸爸从 C 区划分给B 区的面积与 C 区划分前的总面积的比值为 ( ) A. 25% B. 32% C. 36% D. 40% 13. 请写出一个只含有字母 a 的二次多项式，且无论 a 取何值时该二次多项式的值大于 2023，则这个二次多项式可 以为 . 14. 若 x2m+1y3 与 -2xn+3y2n-1是同类项，则m +n = . 15. 对于任意正整数n，若n 为偶数则除以 2，若n 为奇数则乘 3 再加 1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然 数，在 1937 年LotharCollatz 提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到 1 呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成 1，我们就把第一次变成 1 时所 经过的变换次数称为它的路径长，例如 5 经过 5 次变成 1，则路径长m = 5 ．若输入数n，变换次数m，当m = 7 时，则n 的最小值为 . 初一数学 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 16. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收 费标准如下表： 收费标准 (注: 水费按月份结算) 每月用水量 单价 (元/ 立方米) 不超出 6 立方米的部分 2 超出 6 立方米不超出10 立方米的部分 4 超出 10 立方米的部分 8 例如：某户居民 1 月份用水 8 立方米，应收水费为 2 × 6 + 4 × (8 - 6) = 20(元) 请根据上表的内容解答下列问题： (1) 若某户居民 2 月份用水 7 立方米，则应收水费 元 (2) 若某户居民 4 月份用水 a 立方米 (其中 6 <a ≤ 10)，请用含 a 的代数式表示应收水费 . (3) 若某户居民 3 月份交水费 60 元，求 3 月份用水量为多少立方米？ (4) 若某户居民 5、6 两个月共用水 18 立方米 (6 月份的用水量超过了 5 月份的用水量)，设 5 月份用水 x 立方米，请 用含 x 的代数式表示该户居民 5、6 两个月共交水费多少元？ 初一数学 第3 页 共6 页 学科网（北京）股份有限公司 17. 已知m 是多项式 x3 + 4x2y - 5 的常数项，n 是该多项式的项数. (1)m = ；n = . (2) 在数轴上，点M、N 分别对应实数m 和n，点P 到点M和点N 的距离分别为 |PM | 和 |PN |，且 |PM | -2|PN | = 3，试求点P 对应的实数. (3)【阅读理解】 A，B，C 为数轴上三点，若点 C 到点 A 的距离是点 C 到点B 的距离的 2 倍，我们就称点 C 是 (A,B) 的“强国点”. 如：点 A 表示的数为 -1，点B 表示的数为 2，表示 1 的点 C 到点 A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，则点 C 是 (A,B) 的“强国点”；又比如表示 0 的点D 到点 A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，则点D 就不是 (A,B) 的“强国点”．但点 D 是 (B,A) 的“强国点”. 【知识应用】 在 (1) 的条件下，数轴上，点M、N分别对应实数m 和n，现有一动点 Q 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向右 运动，到达点N 时立即掉头，以每秒 2 个单位的速度向左运动，到达点M 时停止运动．设点 Q 的运动时间为 t(s)， 当 t 为何值时，Q、M、N 中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 18. 类似于运算符号“+，-，× , ÷”,新定义一种运算符号“⊙”,观察下列运算： 1 ⊙ 3 = 1 × 3 - 3 = 0；3 ⊙ (-1) = 3 × 3 + 1 = 10；(-3) ⊙ 4 = (-3) × 3 - 4 =-13； (-5) ⊙ (-4) = (-5) × 3 + 4 =-11； (1) 归纳：用代数式表示 a ⊙ b 的结果为： . (2) 若 2x ⊙ (-5x + 3) = 19，求 x 的值. (3) 若 a ⊙ (-3b) =21，请计算 (2a + b) ⊙ (a - 2b - 1) 的值. (4) 比较 (a2 - 2b) ⊙ 3b 与 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1) 的大小，并说理由. 初一数学 第4 页 共6 页 学科网（北京）股份有限公司 19. 已知 a2 - 2a - 2 = 0，则 3(a2 - 2a) + 2016 的值为 ( ) A. 2022 B. 2023 C. 2010 D. - 2016 20. 如图，a，b，c，d，e，f 均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则 a - b + c - d+ e -f 的值为 ( ) A. 1 B. - 3 C. 7 D. 8 21. 一个两位数，十位上的数字是 x，个位上的数字是 y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是 . 22. 如图，按如图的程序计算，若开始输入的值 x 为 1，则输出的结果为 . 23. 一个多项式减去 x2 + 14x - 6，小红误当成了加法算式，结果得到 2x2 -x+ 3，正确的结果应该是 . 24.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数 (均不等 0) 的除法运算叫做除方，如 3 ÷ 3 ÷ 3，(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2) 等．类比有理数的乘方，我们把 3 ÷ 3 ÷ 3 记作 3③ ,读作“3 的圈 3 次方”，(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2) 记 作 (-2)④ ,读作“-2 的圈 4 次方”．一般地，把 a ÷ a ÷ ÷⋅⋅⋅÷ a (a≠0(记作 a?，读作“a 的圈n 次方”. n个 【初步探究】 (1) 直接写出计算结果：4③ = ，(- ④ = . 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算 如何转化为乘方运算呢？ (此处不用作答) (2) 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式 (-3)④ = ；5⑥ = ；⑤ = . (3) 想一想：将一个非零有理数 a 的圈n 次方写成乘方幂的形式等于 . (4) 比较：(-9)⑤ (-3)⑦ (填“>”“ <”或“=”). 【灵活应用】 (5) 算一算：-32 ÷ (- ⑤ × (- ④ . 初一数学 第5 页 共6 页 学科网（北京）股份有限公司 25. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过 20m3 时，按 2.5 元/m3 计费；月用水量超过 20m3 时，其中的 20m3 仍按 2.5 元/m3 收费，超过部分按 3.5 元/m3 计费，设每户家庭 用水量为 x m3 . (1) 当 0 <x ≤ 20 时，每户家庭缴纳水费 元 (用含 x 的代数式表示)； 当 x> 20 时，每户家庭缴纳水费 元 (用含 x 的代数式表示)； (2) 小明家第二季度用水量如下： 月份 4 月份 5 月份 6 月份 用水量 17m3 24m3 31m3 求小明第二季度一共缴纳的水费. 26. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n 满足：|m - 7| + (n + 2)2 = 0 . (1) 求m、n 的值； (2) 情境：有一个玩具火车 AB 如图 1 所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点 A 移动到点B 时，点 B 所对应的数为m，当点B 移动到点A 时，点A 所对应的数为n ．则玩具火车的长为 个单位长度； 应用：如图 1 所示，当火车 AB 匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点 M 需要 2 秒，则火车的速度为每 秒 个单位长度； (3) 在 (2) 的条件下，当火车 AB 匀速向右运动，同时点P 和点 Q 从N、M 出发，分别以每秒 1 个单位长度和 2 个单 位长度的速度向左和向右运动，记火车 AB 运动后对应的位置为 A1B1 ．点P、Q 间的距离用 a 表示，点B1、A 间的 距离用 b 表示，是否存在常数 k 使得 ka - b 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出 k 和这个定值：若不存在， 请说明理由. 2024 年期中考试初一数学定心卷 参考答案与解析 1. 按照如图所示的计算程序，若 x = 3，则输出的结果是 ( ) A. 1 B. 9 C. - 71 D. - 81 【解答】解；当 x = 3 时，10 - 32 = 1，1 > 0， ∴ 根据题意继续计算 10 - 12 = 9，9 > 0， ∴ 根据题意继续计算 10 - 92 =-71，-71 < 0， ∴ 输出结果为 -71 . 故选：C . 2. 如图，数轴上点A 和点B 分别表示数 a 和 b，则下列式子正确的是 ( ) A. a > 0 B. ab < 0 C. a -b > 0 D. a + b > 0 【解答】解：A、由图得，a < 0，故A 错误，符合题意； B、∵ a、b 异号，∴ ab < 0，故B 正确，符合题意； C、∵ a < b，∴ a -b< 0，故B 不正确，不符合题意； D、∵ |a| > |b|，∴ a + b < 0，故B 不正确，不符合题意； 故选：B . 3. 如图，数轴上的点A 所表示的数为 a，化简 |a| -|a - 3| 的结果为 ( ) A. - 2a - 3 B. - 3 C. - 2a + 3 D. 3 【解答】解：由数轴知 -2 < a <-1， ∴ a - 3 < 0， 则 |a| -|a - 3| =-a - (3 - a) =-a - 3 + a =-3， 故选：B . 4. 如图，正方形ABCD 的边长为 1，电子蚂蚁P 从点A 以 1 个单位/ 秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子 蚂蚁 Q 从点A 以 3 个单位/ 秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P 和 Q 第 423 次相遇在 ( ) A. 点A B. 点B C. 点 C D. 点D 【解答】解：由题意可得， 第一次相遇在点D， 初一数学 第1页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 第二次相遇在点 C， 第三次相遇在点B， 第四次相遇在点A， 第五次相遇在点D， ...... . 每四次一个循环， ∵ 105 × 4 + 3 = 423 . 第 423 次相遇在点B， 故选：B . 5. 计算：0.125 + 2 + ) = 0 . 【解答】解：0.125 + 2 + ) = (0.125 - 2.125) + (2.25 - 0.25) =-2 + 2 = 0， 故答案为：0 . 6. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的 7 个数 (如阴影部分所示)，这 7 个数的和可能是下列 选项：① 55，② 70，③ 84，④ 105，⑤ 140 中的 ②③④ (填写序号) . 【解答】解：设最中间的数字为 x， 则这 7 个数字之和为：(x - 6) + (x - 8) + (x - 1) + x + (x + 1) + (x + 6) + (x + 8) = 7x， 当 7x = 55 时，x = 不符合题意，舍去)，故①不符合题意； 当 7x = 70 时，x = 10，故②符合题意； 当 7x = 84 时，x = 12，故③符合题意； 当 7x = 105 时，x = 15，符合实际，故④符合题意； 当 7x = 140 时，x = 20，由图可知 x = 20 在最右边，不符合实际，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④ . 7. 下列各组中的两个单项式不是同类项的是 ( ) A. 2x2y 与 3yx2 B. x3 与 3x C. 2x2y3z 与 -zy3x2 D. 1 与 -8 【解答】解：A、2x2y 与 3yx2，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故 A 不符合题意； B、x3 与 3x，相同字母的指数不同，不是同类项，故B 符合题意； C、2x2y3z 与 -zy3x2，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故 C 不符合题意； D、1 与 -8 是同类项，故D 不符合题意. 故选：B . 8. 已知m = ，且 abc > 0，a + b + c = 0 ．则m = . 初一数学 第2页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：∵ a + b + c = 0， ∴ a + b =-c，b + c =-a，c + a =-b， ∴ m = + + = + + ， ∵ abc > 0，a + b + c = 0 ， ∴ a，b，c 中必是一正两负， 当 a > 0，b < 0，c < 0 时， m =-1 + 2 - 3 =-2； 当 b > 0，a < 0，c < 0 时， m =-1 - 2 + 3 = 0； 当 c > 0，a < 0，b < 0 时， m = 1 - 2 - 3 =-4； 综上，m = 0 或 -2 或 -4， 故答案为：0 或 -2 或 -4 . 9. 大于 1 的正整数 k 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23 = 3 + 5，33 = 7 + 9 + 11，43 = 13 + 15 + 17 + 19，53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29，⋯,按照这样的规律，若 k3 分裂后，其中有一个奇数是 2859，则 k 的值是 53 . 【解答】解：由题知， 因为 23 = 3 + 5， 33 = 7 + 9 + 11， 43 = 13 + 15 + 17 + 19， 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29， ⋯ , 且 3 = 2 × (2 - 1) + 1，7 = 3 × (3 - 1) + 1 + 1，13 = 4 × (4 - 1) + 1，21 = 5 × (5 - 1) + 1， 所以 k3 分裂后的第一个数是：k(k - 1) + 1，且共有 k 个连续的奇数. 又因为 53 × (53 - 1) + 1 = 2757，54 × (54 - 1) + 1 = 2863， 且 2757 < 2859 < 2863， 所以 2859 是 533 分裂成连续奇数和中的一个. 故 k 的值为 53 . 故答案为：53 . 10. 如果M是四次多项式，N是三次多项式，那么M +N一定是 ( ) A. 七次多项式 B. 次数不高于四次的整式 C. 四次的整式 D. 四次多项式 【解答】解：因为M 是四次多项式，N 是三次多项式，所以M +N 中一定有四次项，结果有可能是多项式，也有可能 是单项式， 如：若M = x4 -x3，N = x3，则M +N = x4，是单项式，次数为 4， 若M = x4，N = x3，则M +N = x4 + x3，是四次多项式， 综上，M +N一定是四次的整式. 故选：C . 11. 数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有 a 张扑克牌 (假定 a 足够 大)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出 2 张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出 3 张扑克牌给亮亮；第 三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的 变化情况正确的是 ( ) A. a → a + 2 → a + 3 → 1 B. a → a + 2 → a + 5 → 3 初一数学 第3页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 C. a → a + 2 → a + 5 → 2a + 3 D. a → a + 2 → a + 5 → 7 【解答】解：第一步后：东东 a - 2，亮亮 a+ 2，乐乐a； 第二步后：东东 a - 2，亮亮 a + 2 + 3 = a + 5，乐乐 a - 3； 第三步后：东东 2(a - 2)，亮亮 a+ 5 - (a - 2) = 7，乐乐 a - 3 . 故选：D . 12. 响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成 A、B、C 三个区域来种植 三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸 发现粗心的复兴将 A 区 20% 的面积划分给了 B 区，而原B 区 50% 的面积错划分给了A 区，C 区面积未出错， 造成现 B 区的面积占 A、B 两区面积和的比例达到了 40% ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将 C 区 面积的 40% 分成两部分划分给现在的 A 区和B 区．爸爸划分完后，A、B、C 三个区域的面积比变为 1:2:3，那 么爸爸从 C 区划分给B 区的面积与 C 区划分前的总面积的比值为 ( ) A. 25% B. 32% C. 36% D. 40% 【解答】解：设 A，B，C 三个区域原来的面积分别为 x，y，z(x > 0，y > 0，z > 0)， 由题意得：复兴划分后，A 区的面积为 (1 - 20%)x + 50%y = 0.8x + 0.5y，B 区的面积为 20%x + (1 - 50%)y = 0.2x + 0.5y， ∵ 复兴划分后，造成现B 区的面积占A，B 两区面积和的比例达到了40%， ∴ = 40%，即y = 2x， ∴ 复兴划分后，A 区的面积为 0.8x + 0.5y = 1.8x，B 区的面积为 0.2x + 0.5y = 1.2x， 设爸爸将 C 区划分给B 区的面积为 a，则 C 区划分给A 区的面积为 40%z - a = 0.4z - a， ∵ 爸爸划分完后，A、B、C 三个区域的面积比变为 1:2:3， ∴ (1.8x + 0.4z - a):(1.2x + a):(1 - 40%)z = 1:2:3， ∴ 3(1.8x + 0.4z - a) = 0.6z ①, 3(1.2x + a) = 2 × 0.6z ②, 由①得：a = 1.8x + 0.2z， 将 a = 1.8x + 0.2z 代入②得：z = 15x， ∴ a = 4.8x， 则爸爸从 C 区划分给B 区的面积与 C 区划分前的总面积的比值为 = = 32%， 故选：B . 13. 请写出一个只含有字母 a 的二次多项式，且无论 a 取何值时该二次多项式的值大于 2023，则这个二次多项式可 以为 a2 + 2024 (答案不唯一) . 【解答】解：由题意，这个二次多项式可以为 a2 + 2024 . 故答案为：a2 + 2024(答案不唯一) . 14. 若 x2m+1y3 与 -2xn+3y2n-1是同类项，则m + n = 4 . 【解答】解：由同类项定义可知 2m + 1 = n + 3，2n - 1 = 3， 解得m = 2，n = 2 ， ∴ m + n = 2 + 2 = 4 . 故答案为：4 . 15. 对于任意正整数n，若n 为偶数则除以 2，若n 为奇数则乘 3 再加 1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然 数，在 1937 年LotharCollatz 提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到 1 呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成 1，我们就把第一次变成 1 时所 经过的变换次数称为它的路径长，例如 5 经过 5 次变成 1，则路径长m = 5 ．若输入数n，变换次数m，当m = 7 时，则n 的最小值为 3 . 初一数学 第4页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：由输出结果是 1，倒推得到： 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 5 → 10 → 20， 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 5 → 10 → 3， 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128， 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 21， ∴ 则n 的可能值有 4 个，最小值为 3， 故答案为：3 . 16. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收 费标准如下表： 收费标准 (注: 水费按月份结算) 每月用水量 单价 (元/ 立方米) 不超出 6 立方米的部分 2 超出 6 立方米不超出10 立方米的部分 4 超出 10 立方米的部分 8 例如：某户居民 1 月份用水 8 立方米，应收水费为 2 × 6 + 4 × (8 - 6) = 20(元) 请根据上表的内容解答下列问题： (1) 若某户居民 2 月份用水 7 立方米，则应收水费 16 元 (2) 若某户居民 4 月份用水 a 立方米 (其中 6 <a ≤ 10)，请用含 a 的代数式表示应收水费 . (3) 若某户居民 3 月份交水费 60 元，求 3 月份用水量为多少立方米？ (4) 若某户居民 5、6 两个月共用水 18 立方米 (6 月份的用水量超过了 5 月份的用水量)，设 5 月份用水 x 立方米，请 用含 x 的代数式表示该户居民 5、6 两个月共交水费多少元？ 【解答】解：(1) 依题意，6 × 2 + (7 - 6) × 4 = 12 + 4 = 16(元)， 故某户居民 2 月份用水 7 立方米，则应收水费 16 元， 故答案为：16； (2) 依题意， 6 × 2 + (a - 6) × 4 =-12 + 4a(元)， 故某户居民 4 月份用水 a 立方米 (其中 6 <a ≤ 10)，应收水费 (-12 + 4a) 元， 故答案为：(-12 + 4a)； (3) 依题意，当用水量刚好 10 立方米，则 6 × 2+ (10 - 6) × 4 = 12 + 16 = 28(元)， ∵ 60 > 28， ∴ 设 3 月份用水量为 b 立方米 (b > 10)， 则 6 × 2 + (10 - 6) × 4 + (b - 10) × 8 = 12 + 16 + 8b - 80 = 8b - 52(元)， 即 8b - 52 = 60， 解得 b = 14， 故 3 月份用水量为 14 立方米； (4) 依题意，设 5 月份用水 x 立方米，则 6 月份用水 (18 -x) 立方米，且 0 ≤x < 9， 当 6 <x < 9 时，5 月份的水费：6 × 2 + (x - 6) × 4 = 4x - 12(元)， 初一数学 第5 页 共11 页 学科网（北京）股份有限公司 当 9< (18 -x) ≤ 10，6 月份的水费：6 × 2 + (18 -x - 6) × 4 =-4x + 60(元)， ∴ 该户居民 5、6 两个月共交水费：4x - 12 +- 4x + 60 = 48(元)； 当 6 <x < 9 时，5 月份的水费：6 × 2 + (x - 6) × 4 = 4x - 12(元)， 当 10 < 18 -x < 12，6 月份的水费： 6 × 2 + (10 - 6) × 4 + (18 -x - 10) × 8 = 92 - 8x(元)， 此时该户居民 5、6 两个月共交水费：4x - 12 +- 8x + 92 = 80 - 4x(元)； 当 0 ≤x ≤ 6 时，5 月份的水费：2x(元)， 当 12 ≤ 18 -x ≤ 18，6 月份的水费： 6 × 2 + (10 - 6) × 4 + (18 -x - 10) × 8 = 92 - 8x(元)， 此时该户居民 5、6 两个月共交水费：2x - 8x + 92 = 92 - 6x(元)； 17. 已知m 是多项式 x3 + 4x2y - 5 的常数项，n 是该多项式的项数. (1)m = - 5 ；n = . (2) 在数轴上，点M、N 分别对应实数m 和n，点P 到点M和点N 的距离分别为 |PM | 和 |PN |，且 |PM | -2|PN | = 3，试求点P 对应的实数. (3)【阅读理解】 A，B，C 为数轴上三点，若点 C 到点 A 的距离是点 C 到点B 的距离的 2 倍，我们就称点 C 是 (A,B) 的“强国点”. 如：点 A 表示的数为 -1，点B 表示的数为 2，表示 1 的点 C 到点 A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，则点 C 是 (A,B) 的“强国点”；又比如表示 0 的点D 到点 A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，则点D 就不是 (A,B) 的“强国点”．但点 D 是 (B,A) 的“强国点”. 【知识应用】 在 (1) 的条件下，数轴上，点M、N分别对应实数m 和n，现有一动点 Q 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向右 运动，到达点N 时立即掉头，以每秒 2 个单位的速度向左运动，到达点M 时停止运动．设点 Q 的运动时间为 t(s)， 当 t 为何值时，Q、M、N 中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 【解答】解：(1) ∵ 多项式 x3 + 4x2y - 5 是三次三项式，常数项是 -5， ∴ m =-5，n = 3 . 故答案为：-5，3； (2) 设P 对应的数为p， 当p <-5 时， ∵ |PM | -2|PN | = 3， ∴ (-5 -p) - 2(3 -p) = 3， 解得p = 14(不符合题意，舍去)； 当 -5 ≤ p ≤ 3 时， ∵ |PM | -2|PN | = 3， ∴ (p + 5) - 2(3 -p) = 3， 解得p = ； 当 p > 3 时， ∵ |PM | -2|PN | = 3， ∴ (p + 5) - 2(p - 3) = 3， 解得p = 8， 综上，P 对应的数为或 8； (3) 当 0 ≤t ≤ 3 时，此时 Q 从 O 向N运动，则有MQ > NQ， ∴ Q 是 (M,N) 的“强国点”， ∴ 5 + t = 2(3 -t)， 解得 初一数学 第6页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 当 3 <t ≤ 7 时，此时 Q 从N 向M运动， ∵ Q、M、N 中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”， ∴ 8 - 2(t - 3) = 2 × 2(t - 3) 或 2 × [8 - 2(t - 3)] = 2(t - 3)， 解得 t = 或 t = . 当 Q 运动到MN 的中点位置时，M就是 (M,Q) 的强国点，也可以说N是 (M,Q) 的强国点， 此时，t = 5 . 综上，当 t 的值为或 或 或 5 时，Q、M、N 中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”. 18. 类似于运算符号“+，-，× , ÷”,新定义一种运算符号“⊙”,观察下列运算： 1 ⊙ 3 = 1 × 3 - 3 = 0；3 ⊙ (-1) = 3 × 3 + 1 = 10；(-3) ⊙ 4 = (-3) × 3 - 4 =-13； (-5) ⊙ (-4) = (-5) × 3 + 4 =-11； (1) 归纳：用代数式表示 a ⊙ b 的结果为： 3a -b . (2) 若 2x ⊙ (-5x + 3) = 19，求 x 的值. (3) 若 a ⊙ (-3b) =21，请计算 (2a + b) ⊙ (a - 2b - 1) 的值. (4) 比较 (a2 - 2b) ⊙ 3b 与 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1) 的大小，并说理由. 【解答】解：(1) 由题意知 a ⊙b = a × 3 -b = 3a -b， 故答案为：3a -b； (2) 若 2x ⊙ (-5x + 3) = 19，则 2x ⋅ 3 - (-5x + 3) = 19， 整理，得 11x - 3 = 19， 解得 x = 2； (3) ∵ a ⊙ (-3b) = 21， ∴ 3a - (-3b) = 3a + 3b = 21， ∴ a + b = 7， ∴ (2a + b) ⊙ (a - 2b - 1) = 3(2a + b) - (a - 2b - 1) = 6a + 3b - a + 2b + 1 = 5(a + b) + 1 = 5 × 7 + 1 = 36； (4) (a2 - 2b) ⊙ 3b > 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1)，理由如下： ∵ (a2 - 2b) ⊙ 3b = 3(a2 - 2b) - 3b = 3a2 - 9b， 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1) = 3 × 2b - (6a2 + 15b + 1) =-6a2 - 9b - 1， ∴ (a2 - 2b) ⊙ 3b - 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1) = 3a2 - 9b - (-6a2 - 9b - 1) = 3a2 - 9b + 6a2 + 9b + 1 = 9a2 + 1， ∵ a2 ≥ 0， ∴ 9a2 + 1 ≥ 1， ∴ (a2 - 2b) ⊙ 3b > 2b ⊙ (6a2 + 15b + 1). 19. 已知 a2 - 2a - 2 = 0，则 3(a2 - 2a) + 2016 的值为 ( ) A. 2022 B. 2023 C. 2010 D. - 2016 【解答】解：∵ a2 - 2a - 2 = 0， ∴ a2 - 2a = 2， ∴ 3(a2 - 2a) + 2016 初一数学 第7页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 = 3 × 2 + 2016 = 6 + 2016 = 2022， 故选：A . 20. 如图，a，b，c，d，e，f 均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则 a - b + c - d+ e -f 的值为 ( ) A. 1 B. - 3 C. 7 D. 8 【解答】解：由题意得：4 - 1 + a = d + 3 + a， 解得 d = 0 . ∵ 4 + b + 0 = b + 3 + c， ∴ c = 1 . ∵ 4 - 1 +a = a + 1 +f， ∴ f = 2 . ∴ a - 1 + 4 = 4 + 3 + 2，b + 3 + c = 4 + 3 + 2，-1 + 3 + e = 4 + 3 + 2， ∴ a = 6，b = 5，e = 7 . ∴ a -b + c - d + e -f = 6 - 5 + 1 - 0 + 7 - 2 =7. 故选：C . 21. 一个两位数，十位上的数字是 x，个位上的数字是 y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是 10y + x . 【解答】解：由题意得：这个两位数是：10y +x . 故答案为：10y +x . 22. 如图，按如图的程序计算，若开始输入的值 x 为 1，则输出的结果为 15 . 【解答】解：输入 x = 1， 则 2 × 1 + 1 = 2 + 1 = 3 < 10，返回继续运算； 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7 < 10，返回继续运算； 2 × 7 + 1 = 14 + 1 = 15 > 10，输出结果； 故答案为：15 . 23. 一个多项式减去 x2 + 14x - 6，小红误当成了加法算式，结果得到 2x2 - x+ 3，正确的结果应该是 - 29x + 15 . 【解答】解：这个多项式为：(2x2 -x + 3) - (x2 + 14x - 6) = x2 - 15x + 9， 则正确结果为：(x2 - 15x + 9) - (x2 + 14x - 6) = x2 - 15x + 9 -x2 - 14x + 6 初一数学 第8页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 =-29x + 15 . 故答案为：-29x + 15 . 24.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数 (均不等 0) 的除法运算叫做除方，如 3 ÷ 3 ÷ 3，(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2) 等．类比有理数的乘方，我们把 3 ÷ 3 ÷ 3 记作 3③ ,读作“3 的圈 3 次方”，(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2) 记 作 (-2)④ ,读作“-2 的圈 4 次方”．一般地，把 a ÷ a ÷ ÷⋅⋅⋅÷ a (a≠0(记作 a?，读作“a 的圈n 次方”. n个 【初步探究】 (1) 直接写出计算结果：4③ = ，(- ④ = . 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算 如何转化为乘方运算呢？ (此处不用作答) (2) 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式 (-3)④ = ；5⑥ = ；⑤ = . (3) 想一想：将一个非零有理数 a 的圈n 次方写成乘方幂的形式等于 . (4) 比较：(-9)⑤ (-3)⑦ (填“>”“ <”或“=”). 【灵活应用】 (5) 算一算：-32 ÷ (- ⑤ × (- ④ . 【解答】解：(1)4③ = 4 ÷ 4 ÷ 4 = ， (- ④ = (- ÷ (- ÷ (- ÷ (- = 4， 故答案为： ，4； (2) (-3)④ = (-3( ÷ (-3( ÷ (-3( ÷ (-3( = (- 2； 5⑥ = 5 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 4； ⑤ = ÷ ÷ ÷ ÷ = 23； 故答案为：(- 2 4，23； (3)a 的圈n 次方为：a ÷ a ÷ ÷ ... ÷ a = n-2； n个a 故答案为：n-2； (4) (-9)⑤ 3 =- )⑦ 5 =- ， ∵ 729 > 243， 1 1 729 243 ， ∴ (-9)⑤ > (-3)⑦ , 故答案为：>；∴- >- (5) - 32 ÷ (- ⑤ × (- ④ =-32 ÷ (-33( × (-4)2 =-9 ÷ (-27( × 16 = . 25. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过 20m3 时，按 2.5 初一数学 第9页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 元/m3 计费；月用水量超过 20m3 时，其中的 20m3 仍按 2.5 元/m3 收费，超过部分按 3.5 元/m3 计费，设每户家庭 用水量为 x m3 . (1) 当 0 <x ≤ 20 时，每户家庭缴纳水费 2.5x 元 (用含 x 的代数式表示)； 当 x> 20 时，每户家庭缴纳水费 元 (用含 x 的代数式表示)； (2) 小明家第二季度用水量如下： 月份 4 月份 5 月份 6 月份 用水量 17m3 24m3 31m3 求小明第二季度一共缴纳的水费. 【解答】解：(1) 由题意可得， 当 0 <x ≤ 20 时，每户家庭缴纳水费 2.5x 元， 当 x> 20 时，每户家庭缴纳水费：2.5 × 20 + 3.5(x - 20) = 50 + 3.5x - 70 = (3.5x - 20) 元， 故答案为：2.5x，(3.5x - 20)； (2) 由题意可得， (2.5 × 17) + (3.5 × 24 - 20) + (3.5 × 31 - 20) = 42.5 + (84 - 20) + (108.5 - 20) = 42.5 + 64 + 88.5 = 195(元)， 答：小明第二季度一共缴纳的水费 195 元. 26. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n 满足：|m - 7| + (n + 2)2 = 0 . (1) 求m、n 的值； (2) 情境：有一个玩具火车 AB 如图 1 所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点 A 移动到点B 时，点 B 所对应的数为m，当点B 移动到点A 时，点A 所对应的数为n ．则玩具火车的长为 3 个单位长度； 应用：如图 1 所示，当火车 AB 匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点 M 需要 2 秒，则火车的速度为每 秒 个单位长度； (3) 在 (2) 的条件下，当火车 AB 匀速向右运动，同时点P 和点 Q 从N、M 出发，分别以每秒 1 个单位长度和 2 个单 位长度的速度向左和向右运动，记火车 AB 运动后对应的位置为 A1B1 ．点P、Q 间的距离用 a 表示，点B1、A 间的 距离用 b 表示，是否存在常数 k 使得 ka - b 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出 k 和这个定值：若不存在， 请说明理由. 【解答】解 (1)m - 7 = 0，n + 2 = 0， ∴ m = 7，n =-2 . (2) 玩具火车长 3 个单位长度， 玩具火车的速度为： . 故答案为 理由如下： 设玩具火车运动的时间为 t 秒， B1A = t + 3， 初一数学 第10页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 根据题意，得到点 Q 表示的数是 2t + 7，点 9 表示的数是 -2 -t， ∴ PQ = 2t + 7 - (-2 -t) = 9 + 3t， ∴ kPQ - B1A = k(9 + 3t +3(= (9k - 3) + (3k- ， ∵ 常数 k 使得 kPQ - B1A 的值与它们的运动时间无关， ∴ 3k - 解得 ， 故 9k - 3 = ， 故当 时，常数 k 使得 kPQ - B1A 的值与它们的运动时间无关， 此时值为 . 初一数学 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$