山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试练习题（统计与概率，数列）

统计与概率，数列期中练习题 一、单选题 1．为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7人，则参加调研的总人数是（   ） A．133 B．170 C．70 D．63 2．在一次数学考试中，某同学在计算由20个数据组成的样本的平均数时，错把68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为（   ） A．2 B．1 C．0.5 D．4 3．心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，，80，83，81，85，平均数为80分且，是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 4．某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设是数列的前n项和，且，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 10．某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．参赛成绩的众数约为75分 B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D．参赛成绩的平均分约为72.8分 11．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 12．假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，则（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 三、填空题 13．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分.规定：每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各问题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 . 14．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 15．在数列中，，，，若对所有恒成立，则λ的取值范围为 ． 四、解答题 16．已知是锐角，，函数，数列的前项和为，且．数列是等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切的正整数都成立，求的最小值； 17．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 18．设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． (3)若是递增数列，求的取值范围． 20．某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：，，，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图．    (1)求这100位市民认可分数的中位数（精确到0.1），平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90,100]的概率． 21．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率 学科网（北京）股份有限公司 $$ 统计与概率，数列期中考试练习题 1．A 【详解】已知甲村和乙村的人数之比是10：9，根据分层抽样，可设甲村被抽取参与调研的村民有10a人， 则乙村被抽取参与调研的村民有9a人，则，解得. 所以参加调研的总人数为. 故选：A 2．B 【详解】假设未被误写的19个数据之和为， 则， 所以. 故选：B. 3．D 【详解】由题知，则， 因为，是两个相邻的自然数，所以，， 将这八个数据按从小到大的顺序排列为：76，77，78，80，80，81，83，85， 又， 所以这组数据的第75分位数是. 故选：D. 4．C 【详解】因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为， 所以两次面试都没有通过的概率为：， 所以该同学通过面试的概率为：. 故选：C. 5．D 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D. 6．C 【详解】依题意，数列满足， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 所以， 由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立， 所以实数的取值范围为 故选：C 7．C 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 8．B 【分析】由，可推得是以1为首项，公差为2的等差数列，可得，进而求得，，即可得到答案. 【详解】，， ，，， 是以1为首项，公差为2的等差数列， ，，， ， . 故选：B. 9．ACD 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以为递增， 所以也为递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 10．AC 【详解】对于A：由频率分布直方图可得众数为，故A正确； 对于B：由频率分布直方图可得内应抽取人，故B错误； 对于C：分数在）内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确； 对于D：平均数为，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【详解】由分步乘法计数原理得基本事件的总数为个， 事件包含的基本事件为， ，共18个， 所以， 事件包含的基本事件为，共9个， 所以，故A正确; 事件包含的基本事件为， ， ，共有24个， 所以，故B正确， 而包含的基本事件为共有9个， 所以，而，故， 所以与不是相互独立事件，故C错误; 而包含的基本事件为，共有6个， 所以，而，故， 所以与是相互独立事件，故D正确. 故选：ABD. 12．ACD 【详解】设表示男孩，表示女孩， 则有三个小孩的家庭的样本空间可记为：（按老大老二老三排列） ，共计8种情况， 事件，1种情况， 事件，4种情况， 事件，4种情况， 事件，6种情况， 对A：由，故与互斥，故A正确； 对B：显然事件，故B错误； 对C：由且，故与对立，故C正确； 对D：事件有个样本点，事件有6个样本点，事件有3个样本点， 则，，， 则有，故与相互独立，故D正确. 故选：ACD. 13． / / 【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率是， 由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分， 只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分， 所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为. 故答案为：， 14．37 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 15． 【详解】因为，， 所以当时，有， 两式相减可得，即当时，， 当时，，则，故也符合该递推关系， 所以， 而也满足该式，故, 由于，令， 由于， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故数列最大项为，即. 16．(1)，； (2) 【详解】（1），， 又为锐角，，，， ，又，； 当时，； 当时，； 经检验，满足， 综上所述：； 设等比数列的公比为， ，解得：，， . （2）由（1）得：； ， 又， 两式作差得： ，， ，随着的增大而增大， 又，， 恒成立，. 17．(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 18．(1)， (2) (3). 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 19．(1)证明见解析 (2)成等差数列；理由见解析 (3) 【详解】（1）证明： ， 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以数列的首项是， 所以，则， 若中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理为：， 解得：， 所以成等差数列； （3）如果， 即对任意自然数均成立， 化简得， 当为偶数时，恒成立， 因为是递减数列， 所以的最大值是，即， 当为奇数时，恒成立， 单调递增， 所以的最小值为，即， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是不等式的化简，计算问题，第三问的关键是参变分离，转化为求最值问题. 20．(1)66.7，67 (2) 【分析】（1）根据中位数的计算公式即可求解， （2）利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由于的频率分别有0.1，0.2，0,3． 故中位数位于中，其值为． 平均数为． （2）认可分数位于的人数为10，认可分数位于的人数为5， 从认可分数位于的5人中随机选择2人的基本事件数为， 从认可分数位于和的15人中随机选择2人的基本事件数为： ． 故这2位宣传员都来自认可分数为的概率为． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出各组的频率，再计算第百分位数即可； （2）根据频率由分层抽样求出第三组和第五组抽取的人数，利用古典概型概率公式及对立事件计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$