回归课本之立体几何专练-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

立体几何 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若长方体三个面的面积分别是，，，则长方体的体积为(    ) A. B. C. D. 2.下列叙述正确的是(    ) A. 因为，所以； B. 因为所以； C. 因为，所以； D. 因为，所以； 3.用符号表示“点在直线上，在平面外”，正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知直线、和平面，下列命题中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或 二、填空题：本题共11小题，共56分。 5.在正方体中，直线与平面所成的角的大小为          ． 6.如图，，平面，在、的边所在的直线中： 与垂直的直线有          ； 与垂直的直线有          ． 7.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则它的侧面积           8.如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高是多少________________-- 9.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积_________________ 10.求底面边长为，高为的正三棱锥的全面积_______________ 11.设，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，且，求球的体积与表面积．_____________________________________ 12.已知一个六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形，求这个六棱锥的体积______________________ 13.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径___________________ 14.如图，在几何体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，中边上的高，求该几何体的体积_______________ 15.一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．____________________ 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在棱长均为的正三棱锥中， 求证： 求三棱锥的表面积． 17.本小题分   如图，在正方体中，为棱的中点． 求证： 平面； 平面平面．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若长方体三个面的面积分别是，，，则长方体的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了棱柱的结构特征，考查了长方体的侧面积和体积，是基础的计算题． 由题意作出草图，设出过一个顶点的三条侧棱长，由矩形的面积公式得到面积，三式作积后即可得到答案． 【解答】 解：如图， 设长方体 的侧面的面积为，侧面的侧面积为，侧面的侧面积为． 再设侧棱，，． 则，三式作积得：． ． 长方体的体积等于． 故选：． 2.下列叙述正确的是(    ) A. 因为，所以； B. 因为所以； C. 因为，所以； D. 因为，所以； 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查命题的真假判断，考查空间中点，直线，平面间的位置关系，是基础题． 根据空间中点，直线，平面间的位置关系逐一判断即可，注意符号语言表示的正确性． 【解答】 解：因为，，所以，故A错误； 因为，，而无条件，，所以不能得到，故B错误； 因为，，，所以，故C错误； 因为，，所以，故D正确． 故选D． 3.用符号表示“点在直线上，在平面外”，正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查点与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键． 【解答】 解：点在直线上，直线在平面外， ，． 故选B． 4.已知直线、和平面，下列命题中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查线面平行的判定与性质、空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题． 利用线面平行的判定定理与性质定理，结合空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可得到答案． 【解答】 解：对于，若，，、可能异面，故A错误； 对于，若，，、可能异面或相交或平行，故B错误； 对于，若，，可能在平面内，故C错误； 对于，若，，则或，故D正确． 故选：． 二、填空题：本题共11小题，共56分。 5.在正方体中，直线与平面所成的角的大小为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题． 在正方体中，证明平面，则就是直线平面所成角，解直角三角形即可． 【解答】 解：正方体中， 平面， 直线是直线在平面内的射影， 就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 故答案为：． 6.如图，，平面，在、的边所在的直线中： 与垂直的直线有          ； 与垂直的直线有          ． 【答案】、、  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的性质、面面垂直的判定与性质，属于较易题． 根据线面垂直的性质定理求出与垂直的直线； 利用面面垂直的判定和性质定理可得平面，根据线面垂直的性质定理求出与垂直的直线． 【解答】 解：平面，平面，平面，平面， ，，， 与垂直的直线是、、； 平面，平面， 平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， 与垂直的直线是． 故答案为：、、；． 7.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则它的侧面积           【答案】．  【解析】【分析】 本题给出正三棱台上下底面边长和侧棱长，求三棱台的侧面积，着重考查了正棱台的侧面积公式，属于基础题． 正棱台的侧面积公式，其中、分别是上下底的周长，是棱台的斜高．由此在侧面等腰梯形中，计算出棱台的斜高的长度，再结合公式可求出此棱台的侧面积． 【解答】 解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，  则由等腰梯形的性质，可得斜高 再用棱台侧面积公式， 得棱台的侧面积为 8.如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高是多少________________-- 【答案】解：半径为的半圆弧长为， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面半径为：， 所以圆锥的高．  【解析】本题考查圆锥的定义与性质，属于基础题． 先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高． 9.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积_________________ 【答案】解：侧面展开图是长，宽的矩形， 若圆柱的底面周长为，则底面半径，， 此时圆柱的体积 若圆柱的底面周长为，则底面半径，， 此时圆柱的体积 这个圆柱的体积为或．  【解析】本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键，属于中档题． 求出分别以，为圆柱的底面周长的底面圆的半径，然后求出圆柱的体积即可． 10.求底面边长为，高为的正三棱锥的全面积_______________ 【答案】解：如图所示， 正三棱锥，为顶点在底面内的射影， 则为正的垂心，过作于，连接， 则，且， 在中，． 于是，， ． 所以． 故正三棱锥的全面积为 ．   【解析】本题主要考查三棱锥的全面积，属于基础题． 由已知正三棱锥的底面边长为，高为，易求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．  11.设，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，且，求球的体积与表面积．_____________________________________ 【答案】解：把三棱锥扩展为正方体，则三棱锥的外接球也是正方体的外接球； 该正方体的对角线长为， 所以球的半径为， 计算球的体积为； 表面积为  【解析】把三棱锥扩展为正方体，三棱锥的外接球也是正方体的外接球；计算正方体的对角线长，求得外接球的半径，再计算球的体积和表面积． 本题考查了三棱锥外接球的表面积和体积的计算问题，是基础题． 12.已知一个六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形，求这个六棱锥的体积______________________ 【答案】解：由题意知六棱锥的底面积， 这个六棱锥的体积． 这个六棱锥的体积为．  【解析】本题考查六棱锥的体积，考查计算能力，属于基础题． 先求出六棱锥的底面积，然后根据棱锥的体积公式直接计算求解即可． 13.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径___________________ 【答案】解：若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长， ， 若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长， ．  【解析】本题考查的知识点是圆柱的结构特征，圆柱的底面周长等于侧面展开图中底边长是解答本题的关键． 分别以和为圆柱底面的周长，然后根据底面周长公式，我们易求出底面的半径． 14.如图，在几何体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，中边上的高，求该几何体的体积_______________ 【答案】解：在多面体中， ，平面，平面， 平面， 延长到，使得，连接、，如图所示： 因为平面面，，， 到平面的距离， 则三棱锥的体积为：， 原几何体的体积为：．  【解析】本题考查的知识点是组合几何体的面积、体积问题，是中档题． 先补全多面体，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解． 15.一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．____________________ 【答案】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，，， 它们分别为圆台的上、下底面半径和高． 如图所示，过点作于， 则中，，， ． ．  【解析】本题考查旋转体圆台、及其结构特征，圆台的侧面积、底面积，属于基础题． 由题意可设直角梯形上底、下底和高为，，，它们分别为圆台的上、下底面半径和高，计算上底面积、下底面积和侧面积，可得结果． 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在棱长均为的正三棱锥中， 求证： 求三棱锥的表面积． 【答案】证明：取的中点，连、． 正三棱锥的棱长均为，所以，， ，． ，，平面， 平面，平面， 则； 边长为的等边三角形的面积为， 又正三棱锥的棱长均为，所以四个面为全等的正三角形，且正三角形边长为， 所以正三棱锥的表面积为．   【解析】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查棱锥表面积的求法，是基础题． 取的中点，连、可得，得利用线面垂直的判定可得平面，进一步得到； 边长为的等边三角形的面积为，正三棱锥的棱长均为，所以四个面均为边长为的正三角形，进而求得结果． 17.本小题分   如图，在正方体中，为棱的中点． 求证： 平面； 平面平面．   【答案】证明：连结，交于点，连结， 在正方体中，为棱的中点，是的中点， ， 平面，平面， 平面 取的中点，连接，，，设正方体的边长为． ，，，且，，， 平面平面  【解析】本题考查线面平行的证明、面面垂直的证明，考查逻辑推理能力能力，是中档题． 连结，交于点，连结，推导出，由线面平行的判定定理可得结果． 先证明线面垂直，再证面面垂直． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$