高一数学期中模拟卷（范围：集合+不等式+函数基本性质+指数函数） -【重难点突破】2024-2025学年高一上学期·人教A版必修第一册·重难点专题突破

2024-2025学年高一数学期中模拟卷 考试范围：集合，不等式，函数概念与性质，指数函数 说明：减少了送分题和压轴题的比重，增加了中档题的比重，适用于中等生 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（    ） A．3m B．6m C．9m D．12m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 10．已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则以下结论正确的有（    ） A．点不是的图象的对称中心 B．， C．当时， D． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若不等式的解集是，则不等式的解集是________ 13．已知为奇函数，满足任意，且，都有，且，则的解集为 . 14．已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，，． (1)； (2)若，求实数的取值范围． 16．某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 17．若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 18．已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围． 19．函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期中模拟卷 考试范围：集合，不等式，函数概念与性质，指数函数 说明：减少了送分题和压轴题的比重，增加了中档题的比重，适用于中等生 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D C A D A 9 10 11 BC AC BCD 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，又， 所以， 故选：A． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数是上的增函数可判断，的大小；指数函数是R上的减函数可判断，的大小；得解. 【详解】是上的增函数，，即； 又是R上的减函数，，即； . 故选：B. 3．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 5．已知正数满足，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. 故选：C 6．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解. 【详解】当时，函数， 若函数当时，， 当时，，此时函数的最大值为4，符合要求， 当时，在上单调递减，故， 若有最大值，则，则， 综上可知， 故选：A 7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解． 【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减， 又是偶函数，因此不等式转化为， ，，解得． 故选：D． 【点睛】基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 奇函数为背景：先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 偶函数为背景：利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制 8．已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（    ） A．3m B．6m C．9m D．12m 【答案】A 【分析】由判断关于点成中心对称，进而判断函数与图象的交点关于点对称，由此求出和的值，即可得答案. 【详解】由函数满足可得， 即函数关于点成中心对称， 由函数，其图象可由向上平移3个单位得到， 故关于点成中心对称， 则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称， 不妨设，和关于对称，依此类推； 设，则， 故， 同理令，可得， 故， 故选：A 【点睛】若两个函数有相同的对称中心（轴），则它们的交点也关于该对称中心（轴）对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 10．已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．，恒成立，则a的取值范围是 B．，，则a的取值范围是 C．，，则a的取值范围是 D．，， 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A，因为单调递减，所以， 又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确； 对于B，因为单调递减，所以， 又，，则a的取值范围是，故B错误； 对于C，在单调递减，单调递增， 所以 所以， 因为，，所以a的取值范围是，故C正确； 对于D，由上述过程可知，， 则不能保证，，， 例如：当时，不存在，，故D错误. 故选:AC. 11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则以下结论正确的有（    ） A．点不是的图象的对称中心 B．， C．当时， D． 【答案】BCD 【分析】利用函数对称性和奇偶性可得出，进一步推导可判断B选项；利用结合函数对称性的定义可判断A选项；利用函数对称性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项；利用周期性计算可得出的值，可判断D选项. 【详解】对于B选项，因为为奇函数，则，即，， 又因为为偶函数，则，即， 所以，，B对； 对于A选项，，即， 所以，点是的图象的对称中心，A错； 对于C选项，当时，，则， 所以，对任意的，， 所以，当时，， 则， 故当时，， 所以，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 【点睛】 一、已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称 是奇函数关于对称 例：若题目中给出是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 二、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 为偶函数 直线 点 点 点 为奇函数 点 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若不等式的解集是，则不等式的解集是________ 【答案】 【分析】由题意确定是的两根，且，即可求得的值，继而解不等式，即可得答案. 【详解】由不等式的解集是， 可知是的两根，且， 故， 故即，解得或， 即不等式的解集是 13．已知为奇函数，满足任意，且，都有，且，则的解集为 . 【答案】 【分析】画出函数简图，讨论，，三种情况，分别计算得到答案. 【详解】为奇函数且在上是增函数，，画出函数简图，如图所示： 当时，，即，故； 当时，不成立； 当时，，即，故； 综上所述： 故答案为：    【点睛】1、本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，画出函数简图是解题的关键. 2、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 14．已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由任给，存在．使得， 可知，在上的值域为在上的值域的子集. 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 且，， 所以，； 当时，. ，且， 则. 因为，且， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递增. 又， 所以，. 综上所述，当时，. 当时，单调递增，所以. 所以有，解得； 当时，不满足； 当时，单调递减，所以. 所以有，解得. 综上所述，或. 故答案为：. 【点睛】存在任意双变量问题 （1），成立 （2），成立 （3），恒成立 （4），恒成立 （5）成立 （6）成立 （7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，，． (1)； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用集合交、补运算求集合； （2）由题设，讨论、分别求参数范围，即可得答案. 【详解】（1）由题设或，且， 所以. （2）若，则， 当时，，即； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为. 16．某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 【答案】(1) (2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元 【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式. （2）平均费用为，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，， 当时，，，可得，， 故. （2）平均费用， 当且仅当，即时，等号成立. 故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元. 17．若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可. （2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 证明：任取，，且， 则 因为，所以， 所以，， ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【点睛】证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． （2）因为，在上的奇函数， 所以， 由（1）知函数在上单调递增， 所以，成立， 即，成立， 设，则， 所以，， 所以，， 设，， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以，所以. 18．已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，即可求解； （2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为，即可求解； （3）首先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，即可求解得到取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和， 则，得，则，得， 所以，； （2），，所以，， ， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，即， 即，解得：； （3），， 不等式的解集中恰有5个正整数， 即的解集中恰有5个正整数， 即集合中恰有5个正整数， 所以，解得：. 19．函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. （2）证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数  对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数  对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要）  对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要）  对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$