高一数学第二次月考模拟卷（范围：不等式+函数概念与性质+指数与对数函数）-【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破

2024-2025学年高一数学第二次月考模拟卷 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学高一数学第二次月考模拟卷 考试范围：不等式，函数概念与性质，指数与对数函数（各地市名校好题精选） 说明：减少了送分题和压轴题的比重，增加了中档题的比重，适用于中等生 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C A C B B 9 10 11 ACD BCD ABD 12 13 14 54 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 【点睛】运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 或 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 2．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤： 1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。 2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。 3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。 4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论 3．若函数与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解． 【详解】解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为， 将点代入函数的解析式可得：， 故， 故选：D． 4．关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解不等式即得答案. 【详解】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（    ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量与时间的关系为， 建立不等式，则， 所以. 故选：A 6．已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集. 【详解】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 奇函数为背景：先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 偶函数为背景：利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制 8．已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 则， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】等高线本是地理学中的名词， 借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)， 若存在互不相等的实数a，b，c， 使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t， 则称直线为函数的等高线． 解决等高线问题时， 要注意函数本身的整体性， 遵循分段处理的原则， 首先画出分段函数的图象， 充分利用形的直观性与数的精确性， 挖掘函数的性质， 如对称性、不变性(如定和、定积)等， 从而有效地、快速地解决问题． 这类问题由四种常见题型． 1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性 2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算 3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置 4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（    ） A． B．关于对称 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误； 因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，， 由令得，， 所以，所以， 又因为，则，所以，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】 一、已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称 是奇函数关于对称 例：若题目中给出是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 10．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式求出的范围，即可判断A；利用基本不等式及指数的运算法则判断B；利用乘“1”法及基本不等式判断C；利用立方和公式及的范围判断D. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； ，当且仅当，即时取等号，故B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； ， 因为，所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 11．已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若实数，满足，则 【答案】ABD 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，故A正确； 对于B选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则， 因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】常见奇偶性函数模型 一、奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 二、偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤若为奇函数，则为偶函数 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是 ，且有 . 【答案】 【分析】根据条件分析得到，由此列出关于的方程并求解出的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值. 【详解】设的对称中心为，则为奇函数， 所以， 即， 化简可得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为； 因为图象的对称中心为，所以， 所以，所以， 所以， 所以原式， 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 14．已知，若函数有8个不同零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用换元法令及并画出的函数图像，求得有四个不同的解时的取值范围，再利用二次函数的性质即可求得实数m的取值范围. 【详解】令，作出函数的图象，可知当时，有四个不同的解. 因为有8个不同的零点，所以在内有两个不等实根. 设，则根据二次函数的图象与性质，等价于: ，解得. 故答案为： 【点评】嵌套函数问题零点问题常出现在选择或填空的压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高频热门考点。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数． （1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【解析】（1）本题首先可以根据题意得出对任意的成立，然后令，显然不满足题意，排除，最后令，通过对进行求解即可得出结果； （2）本题首先可将转化为，然后分为、、三种情况依次进行讨论，即可得出结果. 【详解】（1）由题意得，对任意的成立， 即对任意的成立， ①当时，，显然不符合题意； ②当时，只需，即， 化简得，解得， 综上所述，. （2）由得， 即， ①当时，，解集为； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为． 【点睛】解含参数的一元二次不等式，可借助因式分解进行求解，考查分类讨论思想. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)函数在上是增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. （2）证明：函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数. （3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得，解得. 因此，不等式的解集为. 17．湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量小于60台时，（万元）；当年产量不少于60台时（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式？ （2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？ 【答案】（1）；（2）年产量为70台时，最大获得1300万元. 【解析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解； （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解. 【详解】（1）由题意可得：时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： ， （2）由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为， 此时时，万元， 当时，， 当且仅当即时等号成立，， 综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大. 18．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析，不等式解集为或 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【详解】（1）令得，故， 令得，故. （2）令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. （3）设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 【点睛】常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数  对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数  对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要）  对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要）  对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 19．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，得到方程，求出； （2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【详解】（1）定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， ． （2）已知函数，由于函数在上单调递增， 由第（1）问可得，因此 不妨设，，且 则 因为，因此，由因为，，因此， 所以，故，所以函数在单调递增． （3）由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 因为，所以，所以在区间上恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故． ． 对任意的恒成立，且， ． 实数的取值范围是． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学高一数学第二次月考模拟卷 考试范围：不等式，函数概念与性质，指数与对数函数（各地市名校好题精选） 说明：减少了送分题和压轴题的比重，增加了中档题的比重，适用于中等生 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（    ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（    ） A． B．关于对称 C．关于对称 D． 10．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若实数，满足，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为 . 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是 ，且有 . 14．已知，若函数有8个不同零点，则实数m的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数． （1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 17．湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量小于60台时，（万元）；当年产量不少于60台时（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式？ （2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？ 18．已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 19．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$